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已知函数 ${\displaystyle f(x)=(x+a){\mathrm{e}}^{x-a}-2x^2}$ (${\displaystyle a>0}$).

1. 当 ${\displaystyle a=1}$ 时, 求曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在点 ${\displaystyle (0,f(0))}$ 处的切线方程;
2. 若 ${\displaystyle x=1-a}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的极值点, 求 ${\displaystyle a}$;
3. 若 ${\displaystyle f(x)}$ 存在小于 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 的极大值, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

${\displaystyle f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x-a}(x+a+1)-4x}$.

1. 当 ${\displaystyle a=1}$, 有 ${\displaystyle f(0)=\frac{1}{\mathrm{e}}}$, ${\displaystyle f^{\prime }(0)=\frac{2}{\mathrm{e}}}$, 所以切线方程为 ${\displaystyle y=\frac{2}{\mathrm{e}}x+\frac{1}{\mathrm{e}}}$.

2. 由题意, ${\displaystyle f^{\prime }(1-a)=0}$, 即 ${\displaystyle 2({\mathrm{e}}^{1-2a}-(1-2a)-1)=0}$. 我们熟知不等式 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^x\ge x+1}$, 等号当且仅当 ${\displaystyle x=0}$, 所以只有 ${\displaystyle 1-2a=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}}$.
   还需要验证此时 $$f^{″}(1-a)=f^{″}\left(\frac{1}{2}\right)={{\mathrm{e}}^{x-\frac{1}{2}}(x+\frac{5}{2})-4|}_{x=\frac{1}{2}}=-1\ne 0,$$ 说明 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle 1-a}$ 的两侧异号, 所以 ${\displaystyle 1-a}$ 确实是 ${\displaystyle f(x)}$ 的极值点.
   综上, ${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$.

3. 首先说明 ${\displaystyle f(x)}$ 至多只有两个极值点. 肯定不能是 ${\displaystyle 0}$. 然后考虑 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=0}$, 也即 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x-a}(1+\frac{a+1}{x})=4}$. 当 ${\displaystyle x<0}$ 时, 左边 ${\displaystyle <1}$; 当 ${\displaystyle x>0}$ 时, 左边函数的导数 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x-a}\frac{x^2+(a+1)x-(a+1)}{x^2}}$ 只有一个零点, 所以 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 至多只有两个零点, 这就完成了说明. 不妨设极值点为 ${\displaystyle x_0,x_1}$, ${\displaystyle x_0<x_1}$. 容易得到 ${\displaystyle x_0}$ 是极大值点, ${\displaystyle x_1}$ 是极小值点，且 ${\displaystyle x_0>0}$.

   • 当 ${\displaystyle a\le \frac{1}{2}}$, 假设两个极值点都存在. 当 ${\displaystyle x\in [0,1-a]}$, $$f^{\prime }(x)\ge (x-a+1)(x+a+1)-4x=(x-1{)}^2-a^2\ge 0,$$ 这说明 ${\displaystyle 1-a}$ 落在单增区间 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },x_0]}$ 上, 所以 $$f(x_0)\ge f(1-a)={\mathrm{e}}^{1-2a}-[\frac{1}{2}(1-2a{)}^2+(1-2a)+1]+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2},$$ ^[1]不成立.
   • 当 ${\displaystyle a>\frac{1}{2}}$, ${\displaystyle f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}-a}(\frac{3}{2}+a)-2=g(a)}$. 而 ${\displaystyle g^{\prime }(a)={\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}-a}(-\frac{1}{2}-a)<0}$, 所以 ${\displaystyle f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)<g\left(\frac{1}{2}\right)=0}$. 这说明 ${\displaystyle f(x)}$ 确实存在一个极大值点和一个极小值点, 且 ${\displaystyle x_0<\frac{1}{2}<a}$. 此时 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x_0-a}(x_0+a+1)=4x_0}$, 消掉 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x_0-a}}$ 后有 $$f(x_0)=\frac{4x_0(x_0+a)}{x_0+a+1}-2x_0^2=4x_0(1-\frac{1}{x_0+a+1})-2x_0^2<4x_0-2x_0^2<\frac{1}{2},$$ 成立.

   综上, ${\displaystyle a>\frac{1}{2}}$.