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已知函数 ${\displaystyle f(x)=\ln (x-a)+\sqrt{9a-4x}(a>0)}$.

1. 若曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在 ${\displaystyle x=2}$ 处的切线的方程为 ${\displaystyle x+y=b}$, 求实数 ${\displaystyle b}$ 的值;
2. 若函数 ${\displaystyle f(x)\le \ln a+2a}$ 恒成立，求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

${\displaystyle f(x)}$ 的定义域为 ${\displaystyle (a,\frac{9a}{4}]}$.

1. 题意意味着$$\begin{array}{r}{F}^{\prime }(2)=\frac{1}{2-a}-\frac{2}{\sqrt{9a-8}}=-1.\end{array}$$
   记左侧函数为 ${\displaystyle g(a),a\in {\displaystyle (\frac{8}{9},2)}}$, 则 ${\displaystyle g^{\prime }(a)={\displaystyle \frac{1}{(2-a{)}^2}+\frac{1}{(9a-8{)}^{3/2}}>0}}$ 推出 ${\displaystyle g(a)}$ 单增. 而 ${\displaystyle a=1}$ 是原方程的解，因此这是全部的解. 此时，${\displaystyle f(2)=1}$, 故 ${\displaystyle b=2+f(2)=3}$.

2. 由题意，至少要求 ${\displaystyle f(2a)=\ln a+\sqrt{a}\le \ln a+2a}$, 解得 ${\displaystyle a\ge {\displaystyle \frac{1}{4}}}$. 下面我们证明充分性.

   • 当 ${\displaystyle 2a\le x\le {\displaystyle \frac{9a}{4}}}$, 则 $$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{x-a}-\frac{2}{\sqrt{9a-4x}}\le f^{\prime }(2a)=\frac{1-2\sqrt{a}}{a}\le 0,\end{array}$$
     因此${\displaystyle f(x)\le f(2a)\le \ln a+2a}$.
   • 当 ${\displaystyle a<x<2a}$, 由于 ${\displaystyle {\displaystyle \underset{x\to a^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=+\mathrm{\infty }}}$, 故存在 ${\displaystyle a<x_1<2a}$，使 ${\displaystyle f^{\prime }(x_1)>0}$; 再由 ${\displaystyle f^{\prime }(2a)\le 0}$，故 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle (x_1,2a)}$ 上存在唯一零点 ${\displaystyle x_0}$, 它也是 ${\displaystyle f(x)}$ 的唯一极大值点，因此$$\begin{array}{rl}f(x)& \le f(x_0)=\ln (x_0-a)-2(x_0-a)-\ln a-2a\\ & =\ln (x_0-a)-2x_0-\ln a<-2x_0<0.\end{array}$$

   因此充分性得证. 综上，${\displaystyle a\ge {\displaystyle \frac{1}{4}}}$.