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对于 ${\displaystyle x\in {\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}}$, 求 ${\displaystyle f(x)=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}$ 的值域.

一方面，由于 ${\displaystyle \sin x,\cos x\in [0,1]}$, 故$$\begin{array}{r}\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\ge \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})\ge 1.\end{array}$$
另一方面，由幂平均值不等式$$\begin{array}{r}{\left(\frac{\sin x+\cos x}{2}\right)}^2\le {\left(\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=2^{-\frac{1}{2}}\Rightarrow f(x)\le 2^{\frac{3}{4}}.\end{array}$$
综上，${\displaystyle f(x)\in [1,2^{\frac{3}{4}}]}$, 取等条件由读者自己验证.