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1. 当 ${\displaystyle x\ge 1}$ 时, 求函数 ${\displaystyle f(x)=2\ln x-\frac{x^2-1}{x}}$ 的最大值;
2. 证明函数 ${\displaystyle g(x)=\cos x-\ln (1+\frac{4}{\pi }x)}$ 在 ${\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}$ 上有且只有一个零点 ${\displaystyle x_0}$, 并判断 ${\displaystyle x_0}$ 和 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ 的大小关系;
3. 已知 ${\displaystyle x\in (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})}$, 证明: 对任意的 ${\displaystyle \phi \in [0,\frac{\pi }{2}]}$, 有 ${\displaystyle \sin (x+\phi )\ge \ln (1+\tan x)}$.

1. 解 因为 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\frac{(x-1{)}^2}{x}\le 0}$, 所以 ${\displaystyle f(x)}$ 的最大值为 ${\displaystyle f(1)=0}$.

2. 解 因为 ${\displaystyle x\in [0,\frac{\pi }{2}]}$ 时 ${\displaystyle g^{\prime }(x)=-\sin x-\frac{1}{\frac{\pi }{4}+x}<0}$, 而 ${\displaystyle g(0)=1>0}$, ${\displaystyle g\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\ln 3<0}$, 所以根据零点存在性定理, ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}$ 上存在唯一零点 ${\displaystyle x_0}$. 结合 1 导出的不等式 ${\displaystyle 2\ln x\le \frac{x^2-1}{x}}$, ${\displaystyle x\ge 1}$, 有 $$g\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-2\ln \sqrt{2}>\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{(\sqrt{2}{)}^2-1}{\sqrt{2}}=0.$$ 所以 ${\displaystyle x_0<\frac{\pi }{4}}$.

3. 证明 当 ${\displaystyle x\in (-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4})}$, 可以知道 ${\displaystyle \underset{\phi \in [0,\frac{\pi }{2}]}{min}\sin (x+\phi )=\sin x}$, 所以只需证明 ${\displaystyle h(x)=\sin x-\ln (1+\tan x)\ge 0}$.

   • 当 ${\displaystyle x\in (-\frac{\pi }{4},0)}$, $$h(x)\ge \sin x-(1+\tan x-1)=\sin x(1-\frac{1}{\cos x})\ge 0.$$
   • 当 ${\displaystyle x\in (0,\frac{\pi }{4})}$, 再次根据 1: $$\begin{array}{rl}h(x)& =\sin x-2\ln \sqrt{1+\tan x}\ge \sin x-\frac{1+\tan x-1}{\sqrt{1+\tan x}}\\ & =\frac{\tan x}{\sqrt{1+{\tan }^{2}x}}-\frac{\tan x}{\sqrt{1+\tan x}}\ge 0.\end{array}$$

   所以证毕!

注意到 ${\displaystyle h\left(\frac{\pi }{4}\right)=g\left(\frac{\pi }{4}\right)>0}$, 所以在 ${\displaystyle (0,\frac{\pi }{4})}$ 段, 可以尝试说明 ${\displaystyle h(x)}$ 是先增后减的. 对于本题来说, 这比较麻烦, 但是可以实现.
因为 ${\displaystyle h^{\prime }(x)=\frac{{\cos }^{2}x(\cos x+\sin x)-1}{\cos x(\cos x+\sin x)}}$, 所以令 ${\displaystyle u(x)={\cos }^{2}x(\cos x+\sin x)-1}$, 则 ${\displaystyle u^{\prime }(x)={\cos }^{3}x(1-3\tan x-2{\tan }^{2}x)}$, 在 ${\displaystyle (0,\frac{\pi }{4})}$ 上只有 ${\displaystyle x_1=\arctan \frac{\sqrt{17}-3}{4}}$ 一个零点. 则 ${\displaystyle u(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,x_1)}$ 上增, 在 ${\displaystyle (x_1,\frac{\pi }{4})}$ 上减. 而 ${\displaystyle u\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-1<0}$, 说明 ${\displaystyle u(x)}$ 在 ${\displaystyle (x_1,\frac{\pi }{4})}$ 上存在唯一零点 ${\displaystyle x_2}$, 则 ${\displaystyle h(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,x_2)}$ 上增, 在 ${\displaystyle (x_2,\frac{\pi }{4})}$ 上减, 所以 ${\displaystyle h(x)\ge min\{h(0),h\left(\frac{\pi }{4}\right)\}=0}$.