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设 ${\displaystyle a,b,c}$ 为正实数，满足 ${\displaystyle a+b+c=3}$. 证明: ${\displaystyle (a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)\ge 8}$.

如果 ${\displaystyle max\{a,b,c\}\ge 2}$, 则原式 ${\displaystyle >8+1>8}$. 否则，我们证明如下不等式: $$\begin{array}{r}\ln (x^3+1)\ge \frac{3}{2}(x-1)+\ln 2,0<x<2.\end{array}$$
记 ${\displaystyle f(x)=\ln (x^3+1)-{\displaystyle \frac{3}{2}(x-1)-\ln 2,0<x<2}}$, 则 $$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=-\frac{3(x-1)(x^2-x-1)}{2(x^3+1)},\end{array}$$
有极值点 ${\displaystyle 1}$ 和 ${\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$, 且 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,1),(\frac{1+\sqrt{5}}{2},2)}$ 上减, 在 ${\displaystyle (1,\frac{1+\sqrt{5}}{2})}$ 上增. 所以 ${\displaystyle f(x)\ge min\{f(1),f(2)\}}$. 而 ${\displaystyle f(1)=0}$, 关键是比较 ${\displaystyle f(2)=\ln \frac{9}{2}-\frac{3}{2}}$ 和 ${\displaystyle 0}$ 的大小关系, 也即 ${\displaystyle \frac{9}{2}}$ 和 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\frac{3}{2}}}$ 的大小关系, 也即 ${\displaystyle \frac{81}{4}}$ 和 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^3}$ 的大小关系. 注意到 $${\mathrm{e}}^3<(2.72{)}^3\approx 20.12<\frac{81}{4},$$ 所以 ${\displaystyle f(x)\ge 0}$.

回到题目. 因为 $$f(a)+f(b)+f(c)=\ln (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)-\frac{3}{2}(a+b+c-3)-3\ln 2\ge 0,$$ 代入 ${\displaystyle a+b+c=3}$ 后就得到了要证的不等式.