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设 ${\displaystyle A,B,C}$ 是一个三角形的三个内角，求 ${\displaystyle \cos A(3\sin B+4\sin C)}$ 的最小值.

要使原式取到最小值，至少 ${\displaystyle \cos A<0}$. 注意到$$\begin{array}{rl}3\sin B+4\sin C=& 3\sin B+4\sin (B+A)=(4\cos A+3)\sin B+4\sin A\cos B\\ \le & \sqrt{(4\cos A+3{)}^2+(4\sin A{)}^2}=\sqrt{25+24\cos A},\end{array}$$
因此使用三元均值不等式:$$\begin{array}{rl}\text{原式}\ge & \cos A\sqrt{25+24\cos A}=-\frac{1}{12}\sqrt{(-12\cos A)(-12\cos A)(25+24\cos A)}\\ \ge & -\frac{1}{12}\sqrt{{\left(\frac{-12\cos A-12\cos A+25+24\cos A}{3}\right)}^3}=-\frac{125\sqrt{3}}{108}.\end{array}$$