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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, ${\displaystyle \mathrm{\angle }A=\frac{\pi }{3},a=5,b=4}$, ${\displaystyle D,E}$ 分别为边 ${\displaystyle AB,BC}$ 上的点, 且 ${\displaystyle BD=CE}$, 求 ${\displaystyle AE+CD}$ 的最小值.

首先根据余弦定理 $$\cos A=\frac{16+c^2-25}{8c},$$ 解得 ${\displaystyle c=2+\sqrt{13}}$. (负根舍去).

如图, 构造 ${\displaystyle F}$ 点使得 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ACE}$ 与 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }FBD}$ 全等, 则 $$AE+CD=FD+CD\ge CF.$$ 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }BCF}$ 中, ${\displaystyle BF=b=4,BC=a=5,\mathrm{\angle }CBF=\pi -A=\frac{2\pi }{3}}$, 从而由余弦定理得 $$CF=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \mathrm{\angle }CBF}=\sqrt{61}.$$