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已知函数$$f(x)={\displaystyle \{\begin{array}{rl}& x+2,x<0,\\ & \ln (\frac{1}{2}x+1),x\ge 0.\end{array}}$$
若关于 ${\displaystyle x}$ 的方程 ${\displaystyle f(f(x))=m}$ 恰有三个不相等的实数根 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ 且满足 ${\displaystyle x_1<x_2<x_3}$, 则 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{2x_1+9}{\ln (x_2+4)}}}$ 的取值范围是_____.

对于这类复合函数的图像问题，可以采用二图法解决. 如图所示，我们可以将复合函数方程理解为 $$f(f(x))=m⟺f(x)=t,f(t)=m.$$ 我们构造两个坐标系并且将它们拼合在一起. 将 ${\displaystyle \mathrm{外}\mathrm{层}}$ 函数图像正常地置于上方; 注意，将 ${\displaystyle \mathrm{内}\mathrm{层}}$ 函数顺时针旋转 90 度，置于下方的坐标系. 这样，当我们在上方拉一条直线 ${\displaystyle y=m}$ 交出若干交点 ${\displaystyle t_i}$, 则 ${\displaystyle t_i}$ 向下顺延自然与里层函数交出 ${\displaystyle x_i}$. 所以，我们只需要在脑子中模拟不同的 ${\displaystyle m}$ 值和相应的 ${\displaystyle t,x}$，就可以找到满足题意的 3 个 ${\displaystyle x}$.

对于本题，如图，要求 ${\displaystyle 0\le t_2<f(2)=\ln 2}$ (参考图中的黑色虚线), 也即 ${\displaystyle m\in [0,\ln 2)}$. 此时，$$\begin{array}{rl}& t_1=x_1+2,t_2=x_2+2,f(t_1)=t_1+2=m,\\ & f(t_2)=\ln (\frac{1}{2}{t}_2+1)=m.\end{array}$$
进行消元即得$$\begin{array}{r}\text{原式}=\frac{2m+1}{m+\ln 2}\in [\frac{1}{\ln 2},1+\frac{1}{2\ln 2}).\end{array}$$