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如图, 直线 ${\displaystyle l_1:y=kx+1-k}$ (${\displaystyle k\ne 0}$, ${\displaystyle k\ne \pm \frac{1}{2}}$) 与 ${\displaystyle l_2:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}$ 相交于点 ${\displaystyle P}$. 直线 ${\displaystyle l_1}$ 与 ${\displaystyle x}$ 轴交于点 ${\displaystyle P_1}$, 过点 ${\displaystyle P_1}$ 作 ${\displaystyle x}$ 轴的垂线交直线 ${\displaystyle l_2}$ 于点 ${\displaystyle Q_1}$, 过点 ${\displaystyle Q_1}$ 作 ${\displaystyle y}$ 轴的垂线交直线 ${\displaystyle l_1}$ 于点 ${\displaystyle P_2}$, 过点 ${\displaystyle P_2}$ 作 ${\displaystyle x}$ 轴的垂线交直线 ${\displaystyle l_2}$ 于点 ${\displaystyle Q_2}$, ..., 这样一直作下去, 可得到一系列点 ${\displaystyle P_1,Q_1,P_1,Q_2,\cdots }$. 点 ${\displaystyle P_n(n=1,2,\cdots )}$ 的横坐标构成数列 ${\displaystyle \{x_n\}}$.

1. 证明: ${\displaystyle x_{n+1}-1=\frac{1}{2k}(x_n-1)}$, ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$;
2. 求数列 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 的通项公式;
3. 比较 ${\displaystyle 2|P{P}_n{|}^2}$ 与 ${\displaystyle 4k^2|P{P}_1{|}^2+5}$ 的大小.
   

1. 证明 由题意 ${\displaystyle x_{Q_n}=x_{P_n}}$, ${\displaystyle y_{P_{n+1}}=y_{Q_n}}$. 所以 $$k{x}_{n+1}+1-k=\frac{1}{2}{x}_{Q_n}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{x}_n+\frac{1}{2},$$ 所以 ${\displaystyle x_{n+1}-1=\frac{1}{2k}(x_n-1)}$.
2. 解 因为 ${\displaystyle x_1-1=\frac{k-1}{k}-1=-\frac{1}{k}}$, 它不为 ${\displaystyle 0}$, 所以 ${\displaystyle \{x_n-1\}}$ 是以 ${\displaystyle -\frac{1}{k}}$ 为首项, ${\displaystyle \frac{1}{2k}}$ 为公比的等比数列, 所以 $$x_n=1-\frac{1}{k}\cdot {\left(\frac{1}{2k}\right)}^{n-1}=1-\frac{2}{(2k{)}^n}.$$
3. 解 显然 ${\displaystyle P(1,1)}$. 由 2 可得 $$P{P}_n^2=(k^2+1)(1-x_n{)}^2=\frac{4(k^2+1)}{(2k{)}^{2n}}.$$ 所以等价于比较 ${\displaystyle \frac{8(k^2+1)}{(2k{)}^{2n}}}$ 和 ${\displaystyle 4(k^2+1)+5=4k^2+9}$ 的大小.
   • 当 ${\displaystyle |2k|>1}$, 则 ${\displaystyle 4k^2+9>10}$, 而 $$\frac{8(k^2+1)}{(2k{)}^{2n}}\le \frac{8(k^2+1)}{(2k{)}^2}=2+\frac{8}{(2k{)}^2}<2+8=10,$$ 所以 ${\displaystyle \frac{8(k^2+1)}{(2k{)}^{2n}}<4k^2+9}$, 也即 ${\displaystyle 2|P{P}_n{|}^2<4k^2|P{P}_1{|}^2+5}$.
   • 同理当 ${\displaystyle 0<|2k|<1}$, 上述不等号全部反号: ${\displaystyle 2|P{P}_n{|}^2>4k^2|P{P}_1{|}^2+5}$.