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比较大小: ${\displaystyle (\mathrm{e}+1{)}^{\mathrm{e}+2},(\mathrm{e}+2{)}^{\mathrm{e}+1},(\cos 1{)}^{\sin 1},(\sin 1{)}^{\cos 1}}$.

首先，${\displaystyle (\mathrm{e}+1{)}^{\mathrm{e}+2},(\mathrm{e}+2{)}^{\mathrm{e}+1}>1}$, ${\displaystyle (\cos 1{)}^{\sin 1},(\sin 1{)}^{\cos 1}<1}$.

其次，要比较 ${\displaystyle (\mathrm{e}+1{)}^{\mathrm{e}+2},(\mathrm{e}+2{)}^{\mathrm{e}+1}}$ 的大小，也就是要比较 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\ln (\mathrm{e}+1)}{\mathrm{e}+1},\frac{\ln (\mathrm{e}+2)}{\mathrm{e}+2}}}$ 的大小，然而 ${\displaystyle f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}}$ 在 ${\displaystyle (\mathrm{e},+\mathrm{\infty })}$ 上单减，故 ${\displaystyle (\mathrm{e}+1{)}^{\mathrm{e}+2}>(\mathrm{e}+2{)}^{\mathrm{e}+1}}$.

最后，依据$$\begin{array}{r}\tan 1>1\Rightarrow \sin 1>\cos 1,\end{array}$$
同理可得 ${\displaystyle (\cos 1{)}^{\sin 1}<(\sin 1{)}^{\cos 1}<1}$ (${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,\mathrm{e})}$ 上单增).

综上，${\displaystyle (\cos 1{)}^{\sin 1}<(\sin 1{)}^{\cos 1}<(\mathrm{e}+2{)}^{\mathrm{e}+1}<(\mathrm{e}+1{)}^{\mathrm{e}+2}}$.