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若曲线 ${\displaystyle y=x+\frac{1}{x}}$ 和圆 ${\displaystyle x^2+y^2=t(t>0)}$ 存在 ${\displaystyle 4}$ 条公切线, 则 ${\displaystyle t}$ 的取值范围是_____.

设公切线为 ${\displaystyle \alpha x+\beta y=1}$. 则一方面它与圆相切, 所以根据点到直线距离公式 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \sqrt{t}=\frac{1}{\sqrt{{\alpha }^2+{\beta }^2}}.\end{array}$$ 另一方面与双曲线联立: $$\begin{array}{}\text{(2)}& (\alpha +\beta )x^2-x+\beta =0\Rightarrow \mathrm{\Delta }=1-4\beta (\alpha +\beta )=0.\end{array}$$ 在 (2) 中得到 ${\displaystyle \alpha =\frac{1}{4\beta }-\beta }$, 代入 (1): $$t=\frac{1}{{(\frac{1}{4\beta }-\beta )}^2+{\beta }^2}=\frac{1}{2{\beta }^2+\frac{1}{16{\beta }^2}-\frac{1}{2}}.$$
要使这个方程有 ${\displaystyle 4}$ 个解, 回忆对勾函数的结构, 只需要不取顶点即可. 所以 $$t<\frac{1}{2\sqrt{(2{\beta }^2)\left(\frac{1}{16{\beta }^2}\right)}-\frac{1}{2}}=2(\sqrt{2}+1).$$ 综上, ${\displaystyle t\in (0,2\sqrt{2}+2)}$.