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为响应"缤纷寒假, 探索实践"活动, 某同学计划去 ${\displaystyle 2}$ 个展馆类景点和 ${\displaystyle 4}$ 个公园类景点打卡. 已知其每日随机选择一个景点打卡 (不重复打卡), 设 ${\displaystyle X}$ 为打卡完某一类所有景点需要的天数, 则 ${\displaystyle X=3}$ 的概率为_____, ${\displaystyle X}$ 的期望 ${\displaystyle \mathbb{E}(X)=}$ _____.

${\displaystyle 3}$ 天只够打卡完 ${\displaystyle 2}$ 个展馆类景点, 也即该同学在前两天中安排了 ${\displaystyle 1}$ 个展馆类景点, 且第三天固定为展馆类景点. 可行的排列数为 ${\displaystyle C_4^1\cdot 2\cdot A_2^1=16}$; 总排列数为 ${\displaystyle A_6^3=120}$, 所以 ${\displaystyle \mathbb{P}(X=3)=\frac{16}{120}=\frac{2}{15}}$.
接下来我们计算 ${\displaystyle X}$ 的完整分布.

• ${\displaystyle X=2}$ 时, 前两天均为展馆类景点. ${\displaystyle \mathbb{P}(X=2)=\frac{A_2^2}{A_6^2}=\frac{1}{15}}$.
• ${\displaystyle X=4}$ 时, 前三天安排了 ${\displaystyle 2}$ 个公园类景点, 且第四天固定为展馆类景点; 或四天均为公园类景点. 所以 $$\mathbb{P}(X=4)=\frac{C_4^2{A}_3^2\cdot A_2^2}{A_6^4}+\frac{A_4^4}{A_6^4}=\frac{4}{15}.$$
• ${\displaystyle X=5}$ 时 ${\displaystyle \mathbb{P}(X=5)=1-\sum _{i=2}^4\mathbb{P}(X=i)=\frac{8}{15}}$.

综上, ${\displaystyle \mathbb{E}(X)=\sum _{i=2}^{5}i\mathbb{P}(X=i)=\frac{64}{15}}$.