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在平面直角坐标系中，若 ${\displaystyle A,B}$ 两点在一曲线 ${\displaystyle C}$ 上，曲线 ${\displaystyle C}$ 在 ${\displaystyle A,B}$ 处均存在不垂直于 ${\displaystyle x}$ 轴的切线，且两条切线的斜率的平均值等于直线 ${\displaystyle AB}$ 的斜率，则称 ${\displaystyle AB}$ 是曲线 ${\displaystyle C}$ 的一条"切线相依割线".

1. 证明: 准线平行于 ${\displaystyle x}$ 轴的抛物线上的任意一条割线均为"切线相依割线";
2. 试探究双曲线 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)}}$ 在第一象限内是否存在"切线相依割线". 若存在，请求出所有的"切线相依割线", 若不存在，请说明理由.

若 ${\displaystyle C:y=f(x)}$, 则由题意，"切线相依割线"等价于$$\begin{array}{r}\frac{f^{\prime }(x_A)+f^{\prime }(x_B)}{2}=\frac{f(x_A)-f(x_B)}{x_A-x_B}.\end{array}$$

1. 证明 设 ${\displaystyle f(x)=a(x-b{)}^2+c}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\forall }{x}_1\ne x_2}$, $$\begin{array}{rl}& \frac{f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)}{2}=\frac{1}{2}(2a(x_1-b)+2a(x_2-b))=a(x_1+x_2-2b),\\ & \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{a[(x_1-b{)}^2-(x_2-b{)}^2]}{x_1-x_2}=a(x_1+x_2-2b),\end{array}$$
   两者相等，故结论得证.
2. 解 不存在. 下面看我大力出奇迹! 给定 ${\displaystyle x_1,x_2>0,x_1\ne x_2}$, 则 ${\displaystyle f(x_i)={\displaystyle \sqrt{b^2(\frac{x_i^2}{a^2}-1)},i=1,2}}$, 故 ${\displaystyle f^{\prime }(x_i)={\displaystyle \frac{\frac{x_{i}b}{a^2}}{\sqrt{\frac{x_i^2}{a^2}-1}}}}$. 对 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}}}$ 使用分子有理化:$$\begin{array}{r}\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{b^2({\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}-1)-b^2({\displaystyle \frac{x_2^2}{a^2}}-1)}{x_1-x_2}=\frac{{\displaystyle \frac{b}{a^2}}(x_1+x_2)}{\sqrt{{\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}-1}+\sqrt{{\displaystyle \frac{x_2^2}{a^2}}-1}},\end{array}$$
   这样条件式等价于$$\begin{array}{r}\frac{x_1}{\sqrt{{\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}-1}}+\frac{x_2}{\sqrt{{\displaystyle \frac{x_2^2}{a^2}}-1}}=\frac{2(x_1+x_2)}{\sqrt{{\displaystyle \frac{x_1^2}{a^2}}-1}+\sqrt{{\displaystyle \frac{x_2^2}{a^2}}-1}}.\end{array}$$
   一般地，考虑 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{2(a+c)}{b+d}}}$, 通分作差得 $$\begin{array}{r}0=(ad+bc)(b+d)-2(a+c)bd=(b-d)(bc-ad),\end{array}$$
   也即 ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{\frac{x_1^2}{a^2}-1}=\sqrt{\frac{x_2^2}{a^2}-1}}}$ 或 ${\displaystyle {\displaystyle x_2\sqrt{\frac{x_1^2}{a^2}-1}=x_1\sqrt{\frac{x_2^2}{a^2}-1}}}$, 两者均只能推出 ${\displaystyle x_1=x_2}$, 因此不存在.