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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, ${\displaystyle AB=2}$, ${\displaystyle \frac{1+\sin A}{\cos A}=\frac{1+\sin B}{\cos B}}$, ${\displaystyle D}$ 为边 ${\displaystyle BC}$ 的中点.

1. 求证: ${\displaystyle CA=CB}$;
2. 当 ${\displaystyle \mathrm{\angle }CAD}$ 取得最大值时, 求 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积.

1. 证明 记 ${\displaystyle t_1=\tan \frac{A}{2}}$, 则 $$\frac{1+\sin A}{\cos A}=\frac{1+\frac{2t_1}{1+t_1^2}}{\frac{1-t_1^2}{1+t_1^2}}=\frac{1+t_1}{1-t_1}.$$ 记 ${\displaystyle t_2=\tan \frac{B}{2}}$, 则同理有 $$\frac{1+t_1}{1-t_1}=\frac{1+t_2}{1-t_2}\Rightarrow t_1=t_2,$$ 所以 ${\displaystyle \tan \frac{A}{2}=\tan \frac{B}{2}}$. 而 ${\displaystyle \frac{A}{2},\frac{B}{2}\in (0,\frac{\pi }{2})}$, 所以 ${\displaystyle A=B}$, 所以 ${\displaystyle CA=CB}$.
2. 解 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }CAD}$ 中, 根据正弦定理, $$\sin \mathrm{\angle }CAD=\frac{CD}{CA}=\frac{1}{2}\sin \mathrm{\angle }CDA\le \frac{1}{2},$$ 再结合 ${\displaystyle A,B}$ 为锐角, 也即 ${\displaystyle \mathrm{\angle }CAD}$ 为锐角, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\angle }CAD\le \frac{\pi }{6}}$. 取等时 ${\displaystyle AD\perp BC}$, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 为等边三角形, 所以 ${\displaystyle S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}A{B}^2=\sqrt{3}}$.