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已知函数 ${\displaystyle {\displaystyle f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-1}{x}}}$.

1. 求 ${\displaystyle f(x)}$ 在点 ${\displaystyle (1,f(1))}$ 处的切线方程;
2. 证明: ${\displaystyle f(x)}$ 是其定义域上的增函数;
3. 若 ${\displaystyle f(x)>a^x}$, 其中 ${\displaystyle a>0}$ 且 ${\displaystyle a\ne 1}$, 求实数 ${\displaystyle a}$ 的值.

1. 解 ${\displaystyle {\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x(x-1)+1}{x^2}}}$. 故 ${\displaystyle f^{\prime }(1)=1}$, 从而所求切线方程为 ${\displaystyle y=x+\mathrm{e}-2}$.

2. 证明 由于 ${\displaystyle ({\mathrm{e}}^x(x-1){)}^{\prime }=x{\mathrm{e}}^x}$，故 ${\displaystyle x=0}$ 是 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^x(x-1)}$ 的唯一极小值点，即 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^x(x-1)+1\ge 0}$, 从而 ${\displaystyle f^{\prime }(x)\ge 0}$，这样 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },0),(0,+\mathrm{\infty })}$ 上分别增.
   另一方面，${\displaystyle x>0}$ 时 ${\displaystyle {\displaystyle f(x)>\frac{(x+1)-1}{x}=1}}$; ${\displaystyle x<0}$ 时 ${\displaystyle {\displaystyle f(x)<\frac{(x+1)-1}{x}=1}}$，因此 ${\displaystyle \mathrm{\forall }{x}_1>0>x_2:f(x_1)>f(x_2)}$. 这样，${\displaystyle f(x)}$ 在定义域 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })}$ 上是增函数.

3. 解 原不等式等价于$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& {\mathrm{e}}^x-1>x{a}^x,x>0,\\ & {\mathrm{e}}^x-1<x{a}^x,x<0.\end{array}\end{array}$$
   记 ${\displaystyle g(x)={\displaystyle {\mathrm{e}}^x-1-x{a}^x}}$, ${\displaystyle g^{\prime }(x)=a^x[{\left(\frac{\mathrm{e}}{a}\right)}^x-x\ln a-1]}$. 记 ${\displaystyle h(x)={\displaystyle {\left(\frac{\mathrm{e}}{a}\right)}^x-x\ln a-1}}$. ${\displaystyle g(x),h(x)}$ 定义域均可为 ${\displaystyle \mathbb{R}}$.

   • ${\displaystyle a=\sqrt{\mathrm{e}}}$, 则 ${\displaystyle {\displaystyle g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}({\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}-\frac{x}{2}-1)\ge 0}}$, 而 ${\displaystyle g(0)=0}$, 故满足题意.
   • ${\displaystyle a>\sqrt{\mathrm{e}}}$, 则 ${\displaystyle {\displaystyle h^{\prime }(x)={\left(\frac{\mathrm{e}}{a}\right)}^x\ln \frac{\mathrm{e}}{a}-\ln a}}$, ${\displaystyle h^{\prime }(0)=\ln {\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{a^2}<0}}$, 结合连续函数的局部保号性，可知 ${\displaystyle \mathrm{\exists }{x}_1>0:h(x)<0,\mathrm{\forall }x\in (0,x_1)}$. 从而 ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,x_1)}$ 上单减，${\displaystyle g(x_1)<0}$，舍去.
   • ${\displaystyle 1<a<\sqrt{\mathrm{e}}}$ 或 ${\displaystyle 0<a<1}$, 则 ${\displaystyle h^{\prime }(0)>0}$，可知 ${\displaystyle \mathrm{\exists }{x}_2<0:g(x)}$ 在 ${\displaystyle (x_2,0)}$ 上单减，${\displaystyle g(x_2)>0}$，舍去.

   综上，${\displaystyle a=\sqrt{\mathrm{e}}}$.