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已知数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的各项均为正数，满足 ${\displaystyle a_1=1,a_2=\lambda ,{\displaystyle a_{n+2}=\frac{2}{a_{n+1}+a_n}}}$, 其中常数 ${\displaystyle \lambda >0}$. 给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是

• A. ${\displaystyle a_1+a_2+a_3\ge 2\sqrt{2}}$
• B. 存在 ${\displaystyle k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, 满足 ${\displaystyle a_k<a_{k+1}<a_{k+2}<a_{k+3}}$
• C. 存在无限个 ${\displaystyle k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, 使得 ${\displaystyle a_k\ge 1}$
• D. 存在 ${\displaystyle M>0}$, 对任意的 ${\displaystyle k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, 使得 ${\displaystyle |a_k|<M}$

• A 由定义$$\begin{array}{r}{a}_1+a_2+a_3=1+\lambda +\frac{2}{1+\lambda }\ge 2\sqrt{2},\end{array}$$
  等号当且仅当 ${\displaystyle \lambda =\sqrt{2}-1}$. 故 A 正确.
• B 如果 ${\displaystyle k}$ 真的存在，则$$\begin{array}{r}{a}_{k+2}=\frac{2}{a_k+a_{k+1}}>a_{k+1}>a_k>0,\end{array}$$
  因此$$\begin{array}{r}{a}_{k+3}=\frac{2}{a_{k+2}}<\frac{2}{a_{k+1}+a_{k+1}}<\frac{2}{a_{k+1}+a_{k+2}}=a_{k+2},\end{array}$$
  矛盾. 故B错误.
• C 反设这样的 ${\displaystyle k}$ 只有有限个，那么存在一个最大的这样的 ${\displaystyle K}$, 也即 ${\displaystyle \mathrm{\forall }k>K,0<a_k<1}$. 因此 ${\displaystyle {\displaystyle a_{K+3}=\frac{2}{a_{K+2}+a_{K+1}}>1}}$，矛盾，因此 ${\displaystyle k}$ 有无限个，C正确.
• D 记 ${\displaystyle \bar{\lambda }=max\{\lambda ,1\}}$, 下面证明: ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{\bar{\lambda }}\le a_n\le \bar{\lambda }}}$. 事实上，这个结论对 ${\displaystyle n=1,2}$ 均成立，且容易用归纳法证明. 这样，D 正确.

综上，正确答案是 ACD.