空间向量的共面定理

设 ${\displaystyle O}$ 为空间的任意一点, ${\displaystyle A,B,C}$ 不共线. 若 ${\displaystyle P,A,B,C}$ 四点共面, 且 ${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}+\nu \overrightarrow{OC}}$, 则 ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu =1}$.

根据平面向量共面定理, 唯一存在 ${\displaystyle x,y}$, 使得 ${\displaystyle \overrightarrow{PB}=x\overrightarrow{PA}+y\overrightarrow{PC}}$. 这样 $$\begin{array}{rl}\overrightarrow{OP}& =\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{PB}\\ & =\overrightarrow{OB}-x\overrightarrow{PA}-y\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{OB}-x(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})-y(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP}),\end{array}$$ 整理得 $$\overrightarrow{OP}=\frac{-x}{1-x-y}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{1-x-y}\overrightarrow{OB}+\frac{-y}{1-x-y}\overrightarrow{OC},$$ 于是 ${\displaystyle \lambda +\mu +\nu =1}$.