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已知复数 ${\displaystyle {\omega }_1,{\omega }_2}$ 满足 ${\displaystyle \overline{{\omega }_1}-\overline{{\omega }_2}=\frac{4}{{\omega }_1-{\omega }_2}}$, 记满足 ${\displaystyle |z-{\omega }_i|\in [1,3]}$ (${\displaystyle i=1,2}$)的复数 ${\displaystyle z}$ 组成的集合为 ${\displaystyle A}$. 若 ${\displaystyle z_1\in A}$ 且 ${\displaystyle z_2\in A}$, 则 ${\displaystyle |z_1-z_2|}$ 的取值范围是_____.

由题意 $$4=(\overline{{\omega }_1-{\omega }_2})({\omega }_1-{\omega }_2)=|{\omega }_1-{\omega }_2{|}^2\Rightarrow |{\omega }_1-{\omega }_2|=2.$$ 由于 ${\displaystyle {\omega }_i}$ 相比 ${\displaystyle z}$ 来说是固定的, 所以不妨设 ${\displaystyle {\omega }_1=-1}$, ${\displaystyle {\omega }_2=1}$. 如图, ${\displaystyle A}$ 为两个圆环的交集(阴影部分), 我们要求其中两相异点的距离范围, 最大值应该是上下顶点的距离. 容易计算出为 ${\displaystyle 2\sqrt{3^2-1^2}=4\sqrt{2}}$, 所以 ${\displaystyle |z_1-z_2|\in (0,4\sqrt{2}]}$.