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已知直线 ${\displaystyle l}$ 的倾斜角为锐角, 且过抛物线 ${\displaystyle y=x^2}$ 的焦点, 与抛物线交于 ${\displaystyle A,B}$ 两点. 若在该抛物线的准线上存在一点 ${\displaystyle C}$, 使得 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 为正三角形, 则直线 ${\displaystyle l}$ 的斜率为_____.

如图, 设 ${\displaystyle AB}$ 中点为 ${\displaystyle M}$. 记 ${\displaystyle A,M,B}$ 在准线上的投影分别为 ${\displaystyle G,N,H}$. 则一方面根据正三角形条件 $$CM=\frac{\sqrt{3}}{2}AB,$$ 另一方面根据抛物线定义 $$MN=\frac{1}{2}(AG+BH)=\frac{1}{2}(AF+BF)=\frac{1}{2}AB,$$ 所以 ${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }MCN=\frac{MN}{MC}=\frac{\sqrt{3}}{3}}$, 所以 ${\displaystyle \tan \mathrm{\angle }MCN=\frac{\sqrt{2}}{2}}$. 所以 ${\displaystyle k_{MC}=-\frac{\sqrt{2}}{2}}$, ${\displaystyle k_l=-\frac{1}{k_{MC}}=\sqrt{2}}$.