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在锐角 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, 角 ${\displaystyle A,B,C}$ 所对的边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$, 且 ${\displaystyle a^2-a+\frac{1}{2}=(\frac{1}{2}-a)\cos 4B}$, 求 ${\displaystyle a^2+b^2}$ 的取值范围.

由题意 ${\displaystyle a\ne \frac{1}{2}}$, 所以 $$\cos 4B=\frac{a^2}{\frac{1}{2}-a}+1=(\frac{1}{2}-a)+\frac{1}{4(\frac{1}{2}-a)}.$$ 当 ${\displaystyle \frac{1}{2}-a>0}$, ${\displaystyle \cos 4B\ge 1}$, 仅在 ${\displaystyle a=0}$ 时取等, 不成立; 当 ${\displaystyle \frac{1}{2}-a<0}$, ${\displaystyle \cos 4B\le -1}$, 仅在 ${\displaystyle a=1}$ 时取等, 所以只能是 ${\displaystyle a=1}$.
这样 ${\displaystyle \cos 4B=-1}$. 而 ${\displaystyle B\in (0,\frac{\pi }{2})}$, 所以 ${\displaystyle B=\frac{\pi }{4}}$.
这样 ${\displaystyle A\in (0,\frac{\pi }{2})}$, ${\displaystyle C=\frac{3\pi }{4}-A\in (0,\frac{\pi }{2})}$, 解得 ${\displaystyle A\in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})}$.
根据正弦定理, $$b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{1}{\sqrt{2}\sin A}\in (\frac{\sqrt{2}}{2},1).$$ 因此 $$a^2+b^2=1+b^2\in (\frac{3}{2},2).$$