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边长为 ${\displaystyle 2}$ 的正方形 ${\displaystyle ABCD}$ 中，${\displaystyle E,F}$ 分别是 ${\displaystyle AB,BC}$ 的中点，将 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ADE,\mathrm{\Delta }CDF,\mathrm{\Delta }BEF}$ 分别沿 ${\displaystyle DE,DF,EF}$ 折起，使 ${\displaystyle A,B,C}$ 重合于点 ${\displaystyle P}$, 则三棱锥 ${\displaystyle P-DEF}$ 的外接球的体积为_____; 设直线 ${\displaystyle PD,PE,PF}$ 与平面 ${\displaystyle DEF}$ 所成角分别为 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$, 则 ${\displaystyle {\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =}$ _____.

注意到 ${\displaystyle \mathrm{\angle }EPF=\mathrm{\angle }FED=\mathrm{\angle }EPD={90}^{\circ }}$, 因此四面体 ${\displaystyle EPDF}$ 可以补全成长方体 ${\displaystyle PEGD-F{E}^{\prime }{G}^{\prime }{D}^{\prime }}$，两者外接球相同，故外接球半径为 ${\displaystyle R={\displaystyle \frac{\sqrt{1^2+1^2+2^2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}}}$, 从而外接球体积为 ${\displaystyle V={\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3=\sqrt{6}\pi }}$.

记四面体 ${\displaystyle P-DEF}$ 的面 ${\displaystyle DEF}$ 所对的高为 ${\displaystyle h}$. 首先计算 $$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }DEF}=S_{\text{正方形}ABCD}-S_{\mathrm{\Delta }ADE}-S_{\mathrm{\Delta }DFC}-S_{\mathrm{\Delta }BEF}=\frac{3}{2},\end{array}$$
从而利用等积关系$$\begin{array}{r}{V}_{P-EFD}=\frac{1}{3}{S}_{\mathrm{\Delta }DEF}h=V_{D-PEF}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\Rightarrow h=\frac{2}{3},\end{array}$$
从而$$\begin{array}{r}{\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =h^2+h^2+\frac{h^2}{4}=1.\end{array}$$