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在锐角 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中，内角 ${\displaystyle A,B,C}$ 的对边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$, 已知 ${\displaystyle a^2-b^2=bc}$.

1. 证明: ${\displaystyle A=2B}$;
2. 若 ${\displaystyle {\displaystyle \sin A+3\cos B-\cos C=\frac{3\sqrt{3}}{2}}}$, 证明: ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{3}{2}}}$.

1. 由正弦定理和正弦函数的平方差公式，条件式等价于$$\begin{array}{rl}& {\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B=\sin B\sin C\\ \Rightarrow & \sin (A+B)\sin (A-B)=\sin C\sin (A-B)=\sin B\sin C\\ \Rightarrow & \sin (A-B)=\sin B,\end{array}$$
   这意味着 ${\displaystyle A-B=B\Rightarrow A=2B}$ 或 ${\displaystyle A-B+B=A=\pi }$ (舍去)，故 ${\displaystyle A=2B}$.
2. 结合第一问可得 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}=2\cos B}}$. 反设 ${\displaystyle {\displaystyle \cos B\ge \frac{3}{4}}}$，则 ${\displaystyle \sin B\le {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}}$. 这样$$\begin{array}{rl}& \frac{3\sqrt{3}}{2}=\sin A+3\cos B-\cos C\\ =& \sin 2B+3\cos B-\cos (\pi -3B)=2\cos B(-2{\sin }^{2}B+\sin B+2).\end{array}$$
   记 ${\displaystyle f(x)=-2x^2+x+2,0\le x\le {\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}}}$. 根据我们的假设 $${\displaystyle 2\cos B\ge \frac{3}{2},f(\sin B)\ge min\{f(0),f\left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)\}=\frac{9+2\sqrt{7}}{8},}$$ 因此上式进一步得到$$\begin{array}{r}\frac{3\sqrt{3}}{2}\ge \frac{3}{2}\cdot \frac{9+2\sqrt{7}}{8}=\frac{27+6\sqrt{7}}{16}>\frac{3\sqrt{3}}{2},\end{array}$$
   产生矛盾！因此${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{b}<\frac{3}{2}}}$.