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在正三棱锥 ${\displaystyle S-ABC}$ 中, ${\displaystyle O}$ 是底面三角形 ${\displaystyle ABC}$ 的中心. 已知 ${\displaystyle AB=2}$, ${\displaystyle SC=\sqrt{3}}$, ${\displaystyle R}$ 是边 ${\displaystyle SC}$ 靠近 ${\displaystyle C}$ 的三等分点. 过 ${\displaystyle OR}$ 的平面与 ${\displaystyle SA,SB}$ 的延长线分别交于点 ${\displaystyle P,Q}$,则 ${\displaystyle SP+3SQ}$ 的最小值为_____.

设 ${\displaystyle \overrightarrow{SP}=x\overrightarrow{SA}}$ , ${\displaystyle \overrightarrow{SQ}=y\overrightarrow{SB}}$ . 则在正三棱锥 ${\displaystyle S-ABC}$ 中 $$\overrightarrow{SO}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC})=\frac{1}{3x}\overrightarrow{SP}+\frac{1}{3y}\overrightarrow{SQ}+\frac{1}{2}SR.$$ 而 ${\displaystyle P,Q,R,O}$ 共面, 根据 空间向量的共面定理 和柯西不等式 $$\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{2}=1\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2}\ge \frac{(1+\sqrt{3}{)}^2}{x+3y}.$$ 这样 $$SP+3SQ=\sqrt{3}(x+3y)\ge \frac{2}{\sqrt{3}}(1+\sqrt{3}{)}^2=\frac{8\sqrt{3}}{3}+4.$$
取等条件为 ${\displaystyle \frac{1}{x^2}=\frac{1}{3y^2}}$ , 解得 ${\displaystyle (x,y)=(\frac{6+2\sqrt{3}}{3},\frac{6+2\sqrt{3}}{9})}$ , 确实都大于 ${\displaystyle 1}$ .