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已知实数等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ , 那么 $a_{6}$ 的最大可能值为_____.

解

设 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ , 则 $3 (a_{6} - 4 d) = (a_{6} - 5 d)^{2} + (a_{6} - 4 d)^{2} + (a_{6} - 3 d)^{2},$ 整理得 $50 d^{2} - 12 (2 a_{6} - 1) d + 3 a_{6}^{2} - 3 a_{6} = 0.$ 这是关于 $d$ 的一元二次方程, 因此 $\begin{aligned} Δ = 144 (2 a_{6} - 1)^{2} - 200 (3 a_{6}^{2} - 3 a_{6}) \geq 0 \\ \Rightarrow & a_{6}^{2} - a_{6} - 6 \leq 0 \Rightarrow a_{6} \leq 3. \end{aligned}$