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设函数 ${\displaystyle f(x)=2x^2+a\ln x}$ (${\displaystyle a\in \mathbb{R}}$).

1. 若曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在点 ${\displaystyle (1,f(1))}$ 处的切线方程为 ${\displaystyle y=2x+m}$, 求实数 ${\displaystyle a,m}$ 的值;
2. 关于 ${\displaystyle x}$ 的方程 ${\displaystyle f(x)+2\cos x=5}$ 能否有三个不同的实根? 证明你的结论;
3. 若 ${\displaystyle f(2x-1)+2>2f(x)}$ 对任意 ${\displaystyle x\in [2,+\mathrm{\infty })}$ 恒成立, 求实数 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

1. ${\displaystyle y=f(x)}$ 在 ${\displaystyle (1,f(1))}$ 处的切线方程为 ${\displaystyle y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)}$, 也即 ${\displaystyle y=(4+a)x-(2+a)}$, 与 ${\displaystyle y=2x+m}$ 比对, 得 ${\displaystyle a=-2}$, ${\displaystyle m=0}$.

2. 不能. 如果存在三个不同的实根, 则 ${\displaystyle g(x)=f(x)+2\cos x}$ 至少有两个极值点, 也即 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 至少有两个零点, 从而 ${\displaystyle g^{″}(x)}$ 至少有一个零点.

   • 如果 ${\displaystyle a\ge 0}$, 则 $$g^{\prime }(x)=4x+\frac{a}{x}-2\sin x>4x+\frac{a}{x}-2x>0,$$ 不存在两个零点;
   • 如果 ${\displaystyle a<0}$, 则 $$g^{″}(x)=4-\frac{a}{x^2}-2\cos x>2-\frac{a}{x^2}>0,$$ 不存在零点.

   从而原方程不能有三个不同的实根.

3. 原不等式等价于 $$G(x)=4(x-1{)}^2+a\ln (2x-1)-2a\ln x>0,\mathrm{\forall }x\in [2,+\mathrm{\infty }).$$ 首先代入 ${\displaystyle x=2}$, 得 ${\displaystyle a<\frac{4}{\ln \frac{4}{3}}}$. 此时 $$\begin{array}{rl}{G}^{\prime }(x)& =8(x-1)+\frac{2a}{2x-1}-\frac{2a}{x}=2(x-1)[4-\frac{a}{x(2x-1)}]\\ & \ge 2(x-1)(4-\frac{a}{6})>2(x-1)(4-\frac{2}{3\ln \frac{4}{3}})>0,\end{array}$$ (最后一步是因为 ${\displaystyle \ln \frac{4}{3}>\frac{2(\frac{4}{3}-1)}{\frac{4}{3}+1}=\frac{2}{7}>\frac{1}{6}}$), 所以 ${\displaystyle a<\frac{4}{\ln \frac{4}{3}}}$ 是充分的, 也就是最后的答案.