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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中，角 ${\displaystyle A,B,C}$ 所对边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$, 其外接圆半径为 ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=1}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积为_____; 当 ${\displaystyle A}$ 取得最大值时，则 ${\displaystyle a^4-8a=}$ _____.

取 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 外心 ${\displaystyle O}$, 则$$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }ABC}=S_{\mathrm{\Delta }BOC}+S_{\mathrm{\Delta }COA}+S_{\mathrm{\Delta }AOB}=\frac{1}{2}{R}^2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)=\frac{1}{2}.\end{array}$$
(这里可以将面积理解为有向面积，因此对于钝角三角形也成立.)进一步地，根据条件，结合和差化积公式:$$\begin{array}{r}1=\sin 2A+2\sin (B+C)\cos (B-C)\le 2\sin A\cos A+2\sin A,\end{array}$$
(等号成立当且仅当${\displaystyle B=C}$.)这是关于${\displaystyle A}$的唯一可以取等的约束条件，因此当${\displaystyle A}$取得最值时，直接让这个不等式取等，进而消去${\displaystyle \cos A}$得$$\begin{array}{r}{(\frac{1}{2\sin A}-1)}^2={\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A\Rightarrow 4{\sin }^{4}A-4\sin A=-1.\end{array}$$
又由正弦定理得${\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{\sin A}=2R=2}}$, 故$$\begin{array}{r}{a}^4-8a=4(4{\sin }^{4}A-4\sin A)=-4.\end{array}$$