1584

已知函数 ${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rl}& \frac{4x^2+2x}{{\mathrm{e}}^x},x\ge a,\\ & x^3-4x,x<a\end{array}}$ 存在 ${\displaystyle b}$ 使得 ${\displaystyle f(x)=bx}$ 有四个不同的解, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

不论是否有 ${\displaystyle x\ge a}$, ${\displaystyle x=0}$ 都是一个解, 所以问题等价于 $$g(x)=\frac{f(x)}{x}=\{\begin{array}{rl}& \frac{4x+2}{{\mathrm{e}}^x},x\ge a,\\ & x^2-4,x<a\end{array}=b$$ 有三个非零的不同的解. 依据 ${\displaystyle {\left(\frac{4x+2}{{\mathrm{e}}^x}\right)}^{\prime }=\frac{2-4x}{{\mathrm{e}}^x}}$ 辅助, 我们可以画出 ${\displaystyle g(x)}$ 两个分支的函数图像.
如图, 我们从右往左逐段讨论.

• 当 ${\displaystyle a>2}$, 是可以的;
• 当 ${\displaystyle \frac{1}{2}\le a\le 2}$, 是不可以的;
• 当 ${\displaystyle a<\frac{1}{2}}$, 下一个分界点是 ${\displaystyle y=\frac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}}$ 和 ${\displaystyle y=x^2-4}$ 的左交点 ${\displaystyle -\sqrt{4+\frac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}}}$.
  • 当 ${\displaystyle -\sqrt{4+\frac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}}<a<\frac{1}{2}}$, 是可以的;
  • 当 ${\displaystyle a\le -\sqrt{4+\frac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}}}$, 是不可以的.

综上, ${\displaystyle a\in (-\sqrt{4+\frac{4}{\sqrt{\mathrm{e}}}},\frac{1}{2})\cup (2,+\mathrm{\infty })}$.