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已知平面向量 $a, b$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ , 满足 $| a + b | = 1$ , 平面向量 $c$ 在 $a, b$ 上的投影之和为 $2$ , 则 $| c - \frac{1}{2} a - \frac{1}{3} b |$ 的最小值为_____

解

不妨设 $a = (\sqrt{3} a, a)$ , $b = (\sqrt{3} b, - b)$ . 则 $| a + b | = | (\sqrt{3} (a + b), a - b) | = 2 \sqrt{a^{2} + b^{2} + a b} = 1,$ 整理得 $a^{2} + b^{2} + a b = {(a + \frac{b}{2})}^{2} + \frac{3}{4} b^{2} = \frac{1}{4} .$
从而根据柯西不等式 $\frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{\sqrt{3}}{3} b \leq \sqrt{[{(a + \frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2} b)}^{2}] [{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{1}{6})}^{2}]} = \frac{\sqrt{7}}{6} .$
又设 $c = (x_{c}, y_{c})$ , 则 $2 = c \cdot (\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |}) = (x_{c}, y_{c}) \cdot (\sqrt{3}, 0) = \sqrt{3} x_{c},$ 从而 $x_{c} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . 从而 $| c - \frac{1}{2} a - \frac{1}{3} b | \geq x_{c} - \frac{\sqrt{7}}{6} = \frac{4 \sqrt{3} - \sqrt{7}}{6} .$

这里 $\frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{\sqrt{3}}{3} b$ 的最值是一个经典的问题. 除了上面的柯西不等式, 还可以考虑如下解法:

使用三角换元: $a + \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \cos α$ , $\frac{\sqrt{3}}{2} b = \frac{1}{2} \sin α$ , 从而 $a = \frac{1}{2} \cos α - \frac{\sqrt{3}}{6} \sin α$ , $b = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin α$ . 从而 $\frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{\sqrt{3}}{3} b = \frac{1}{12} \sin α + \frac{\sqrt{3}}{4} \cos α \leq \frac{\sqrt{7}}{6} .$

使用判别式: 令 $\sqrt{3} k = \frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{\sqrt{3}}{3} b$ , 得 $a = 2 (k - \frac{b}{3})$ , 回代入条件式整理为关于 $b$ 的二次方程, 令判别式 $Δ \geq 0$ , 得到 $k$ 的范围. 留给读者计算.

使用拉格朗日乘子法. 这我就更不想算了, 读者可以参考 961.

如果是求 $a + b$ 的最值, 我还有三个精妙的方法, 感兴趣的读者请留下评论.