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甲和乙进行乒乓球比赛, 每一球甲赢的概率为 ${\displaystyle p}$, 乙赢的概率为 ${\displaystyle 1-p}$ (${\displaystyle 0<p<1}$), 每球的比赛结果相互独立, 现从两套规则中选一套:

• 规则一. 双方进行 ${\displaystyle 2n+1}$ 球比赛, 先赢得 ${\displaystyle n+1}$ 球的一方获胜;
• 规则二. 若一方赢得至少 ${\displaystyle n}$ 球且必须领先对手至少 ${\displaystyle 2}$ 球则获胜, 否则先赢得 ${\displaystyle n+k}$ 球的一方获胜.

设选择规则一时甲获胜的概率为 ${\displaystyle a_n}$, 选择规则二时甲获胜的概率为 ${\displaystyle b_n}$. (${\displaystyle n,k}$ 为正整数)

1. 若 ${\displaystyle p=\frac{2}{3}}$, ${\displaystyle k=1}$, 求 ${\displaystyle a_2,b_3}$;
2. 若选择规则二且 ${\displaystyle n=2,k=6,p=\frac{3}{4}}$, 设随机变量 ${\displaystyle X}$ 表示一方获胜时进行的总球数, 事件 ${\displaystyle A}$ 表示甲获胜, 事件 ${\displaystyle B}$ 表示 ${\displaystyle 2<X<15}$, 求 ${\displaystyle \frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(\bar{A}|B)}}$;
3. 若 ${\displaystyle k=1,p>\frac{1}{2}}$, 证明: ${\displaystyle a_n<b_{n+1}<a_{n+1}}$.

1. 解 在规则一中, 如果甲获胜, 设甲输了 ${\displaystyle i}$ 球 ${\displaystyle (0\le i\le n)}$, 则只能是甲在前 ${\displaystyle n+i}$ 球中任赢 ${\displaystyle n}$ 球, 以及最后一球赢, 所以 $$a_2=\sum _{i=0}^2{C}_{2+i}^2{p}^3(1-p{)}^i=\frac{64}{81}.$$ 代入 ${\displaystyle (n,p,k)=(2,\frac{2}{3},1)}$, 有 ${\displaystyle a_2=\frac{64}{81}}$.
   在规则二中, 如果 ${\displaystyle k=1}$, ${\displaystyle n=3}$, 则甲得到 3:0, 3:1, 或先赢 ${\displaystyle 4}$ 球 (4:3 或 4:2) 才能获胜.

   • 3:0 的概率是 ${\displaystyle p^3=\frac{8}{27}}$;
   • 3:1 对应着前 ${\displaystyle 3}$ 球中输一球、第 ${\displaystyle 4}$ 球赢, 概率为 ${\displaystyle C_3^1{p}^3(1-p)=\frac{8}{27}}$;
   • 先赢 ${\displaystyle 4}$ 球意味着前 ${\displaystyle 4}$ 球甲只赢了 ${\displaystyle 2}$ 球, 并在之后先赢到 ${\displaystyle 2}$ 球, 概率为 ${\displaystyle C_4^2{p}^2(1-p{)}^2[p^2+C_2^1{p}^2(1-p)]=\frac{160}{729}}$.

   所以 ${\displaystyle b_3=\frac{8}{27}+\frac{8}{27}+\frac{160}{729}=\frac{592}{729}}$.

2. 解 在规则二下, 可能的比分为 ${\displaystyle i+2:i}$ (${\displaystyle i=2,\cdots ,8}$)以及 8:7, 所以 ${\displaystyle X}$ 可取 ${\displaystyle 2,3,\cdots ,15}$. 在事件 ${\displaystyle B}$ 下, 我们需要去掉 ${\displaystyle X=2,15}$, 也即 2:0、8:7 的情形, 这样比分就是规整的 ${\displaystyle i+2:i}$ 形式, 进一步是 ${\displaystyle \frac{X+2}{2}:\frac{X-2}{2}}$, ${\displaystyle X}$ 为偶数. 再结合 ${\displaystyle n=2}$ 的限制, 比分一定是每 ${\displaystyle 2}$ 球达成一个平局, 持续 ${\displaystyle \frac{X-2}{2}}$ 次, 然后获胜方连赢 ${\displaystyle 2}$ 球获胜. 每一轮平局都可以由任一方先得分, 有 ${\displaystyle 2^{\frac{X-2}{2}}}$ 种情形. 所以 $$\frac{\mathbb{P}(A|X=i)}{\mathbb{P}(\bar{A}|X=i)}=\frac{\mathbb{P}(\text{甲}\frac{X+2}{2}:\frac{X-2}{2}\text{乙})}{\mathbb{P}(\text{乙}\frac{X+2}{2}:\frac{X-2}{2}\text{甲})}=\frac{2^{\frac{X-2}{2}}{p}^{\frac{X-2}{2}+2}(1-p{)}^{\frac{X-2}{2}}}{2^{\frac{X-2}{2}}{p}^{\frac{X-2}{2}}(1-p{)}^{\frac{X-2}{2}+2}}={\left(\frac{p}{1-p}\right)}^2=9.$$ 再结合全概率公式 $$\frac{\mathbb{P}(A|B)}{\mathbb{P}(\bar{A}|B)}=\frac{\mathbb{P}(AB)}{\mathbb{P}(\bar{A}B)}=\frac{\sum _{i=4}^{14}\mathbb{P}(AB|X=i)\mathbb{P}(X=i)}{\sum _{i=4}^{14}\mathbb{P}(\bar{A}B|X=i)\mathbb{P}(X=i)}=\frac{\sum _{i=4}^{14}\mathbb{P}(A|X=i)\mathbb{P}(X=i)}{\sum _{i=4}^{14}\mathbb{P}(\bar{A}|X=i)\mathbb{P}(X=i)}=9.$$

3. 证明^[1] 设 ${\displaystyle 2n}$ 球比赛后, 甲领先 ${\displaystyle 2}$ 分、平分、落后 ${\displaystyle 2}$ 分的概率分别为 ${\displaystyle p_1,p_2,p_3}$. 否则无论按哪种规则, 都有一方获胜了, 记此时甲获胜的概率为 ${\displaystyle q}$. 这样 $$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}& =p_1[1-(1-p{)}^3]+p_2[p^2+C_2^1{p}^2(1-p)]+p_3{p}^3+q,\\ a_n& =p_1+p_{2}p+q,\\ b_{n+1}& =p_1+p_2[p^2+C_2^1{p}^2(1-p)]+q,\end{array}$$ 于是$$\begin{array}{rl}{a}_{n+1}-b_{n+1}& =-(1-p{)}^3{p}_1+p^3{p}_3\\ & =C_{2n}^{n+1}{p}^{n+2}(1-p{)}^{n+1}-C_{2n}^{n+1}{p}^{n+1}(1-p{)}^{n+2}\\ & =C_{2n}^{n+1}{p}^{n+1}(1-p{)}^{n+1}(2p-1)>0,\\ b_{n+1}-a_n& =(-2p^3+3p^2-p)p_2=-p(p-1)(2p-1)p_2>0,\end{array}$$ 于是 ${\displaystyle a_{n+1}>b_{n+1}>a_n}$.