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已知抛物线 ${\displaystyle C:y^2=4x}$ 的焦点为 ${\displaystyle F}$, 过 ${\displaystyle F}$ 的直线 ${\displaystyle l}$ 交 ${\displaystyle C}$ 于 ${\displaystyle A,B}$ 两点，过 ${\displaystyle F}$ 与 ${\displaystyle l}$ 垂直的直线交 ${\displaystyle C}$ 于 ${\displaystyle D,E}$ 两点，其中 ${\displaystyle B,D}$ 在 ${\displaystyle x}$ 轴上方，${\displaystyle M,N}$ 分别为 ${\displaystyle AB,DE}$ 的中点.

1. 证明: 直线 ${\displaystyle MN}$ 过定点;
2. 设 ${\displaystyle G}$ 为直线 ${\displaystyle AE}$ 与直线 ${\displaystyle BD}$ 的交点，求 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }GMN}$ 面积的最小值.

1. 证明 由题意，${\displaystyle k_{AB},k_{DE}}$ 存在且非零. 设 ${\displaystyle l_{AB}:x=ty+1}$，与 ${\displaystyle C}$ 联立得$$\begin{array}{r}{y}^2-4ty-4=0.\end{array}$$
   由韦达定理：${\displaystyle y_A+y_B=4t,y_A{y}_B=-4.}$ 从而
   ${\displaystyle y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}=2t}}$, 故 ${\displaystyle x_M=t{y}_M+1=2t^2+1}$，即 ${\displaystyle M(2t^2+1,2t)}$. 在 ${\displaystyle l_{DE}:{\displaystyle x=-\frac{1}{t}y+1}}$ 中，只需将 ${\displaystyle M}$ 坐标中的 ${\displaystyle t}$ 替换为 ${\displaystyle {\displaystyle -\frac{1}{t}}}$，即得 ${\displaystyle N{\displaystyle (\frac{2}{t^2}+1,-\frac{2}{t})}}$. 从而 ${\displaystyle MN}$ 的横截距为$$\begin{array}{r}{X}_0=\frac{x_N{y}_M-x_M{y}_N}{y_M-y_N}=\frac{({\displaystyle \frac{2}{t^2}}+1)(2t)-(2t^2+1)(-{\displaystyle \frac{2}{t}})}{2t+{\displaystyle \frac{2}{t}}}=3,\end{array}$$ 故 ${\displaystyle MN}$ 恒过 ${\displaystyle (3,0)}$.
2. 解 延续第一问的假设，有$$\begin{array}{r}AB=\sqrt{(x_A-x_B{)}^2+(y_A-y_B{)}^2}=\sqrt{t^2+1}\cdot \sqrt{(y_A+y_B{)}^2-4y_A{y}_B}=4(t^2+1),\end{array}$$
   同理 ${\displaystyle DE={\displaystyle 4(\frac{1}{t^2}+1)}}$. 因此$$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\Delta }GMN}=& \frac{1}{2}|\overrightarrow{GM}\times \overrightarrow{GN}|=\frac{1}{2}|\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})\times \frac{1}{2}(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})|=\frac{1}{8}|\overrightarrow{GB}\times \overrightarrow{GE}-\overrightarrow{GA}\times \overrightarrow{GD}|\\ =& \frac{1}{4}{S}_{\text{四边形}ADBE}=\frac{1}{8}AB\cdot DE=2(2+t^2+\frac{1}{t^2})\ge 8.\end{array}$$
   等号在 ${\displaystyle t=\pm 1}$ 时取到.