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已知函数 ${\displaystyle f(x)={\displaystyle \frac{\sin (ax)}{x},x>0,a\in {\mathbb{N}}^{\ast }}}$.

1. 若 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (0,\frac{\pi }{2})}}$ 上恰有一个极值点，求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
2. 记 ${\displaystyle b_n={\displaystyle (\sin (x^n){)}^{\frac{1}{n}},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}}$, 证明: 对任意 ${\displaystyle x\in (0,1)}$, 数列 ${\displaystyle \{b_n\}}$ 是递增数列.

1. 解 ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{ax\cos (ax)-\sin (ax)}{x^2}}}$. 题意等价于 ${\displaystyle g(x)=x\cos x-\sin x}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (0,\frac{a\pi }{2})}}$ 上恰有一个零点，且零点两侧的函数值异号. 由于 ${\displaystyle g^{\prime }(x)=-x\sin x}$, 故 ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,\pi ),(2\pi ,3\pi )}$ 上增，在 ${\displaystyle (\pi ,2\pi )}$ 上减. 而$$\begin{array}{r}g(\pi )=-\pi <0,g\left(\frac{3\pi }{2}\right)=1>0,g(2\pi )=2\pi >0,g\left(\frac{5\pi }{2}\right)=-1<0,\end{array}$$
   因此${\displaystyle g(x)}$最小的两个正零点存在于区间${\displaystyle {\displaystyle (\pi ,\frac{3\pi }{2}),(2\pi ,\frac{5\pi }{2})}}$上. 这样${\displaystyle a\in \{3,4\}}$.
2. 证明 ${\displaystyle x^n\in (0,1),\sin (x^n)\in (0,1)}$, 结合 ${\displaystyle \sin x}$ 和 ${\displaystyle a^x(0<a<1)}$ 的单调性，有$$\begin{array}{rl}& 1>\sin (x^n)>\sin (x^{n+1})>0\\ \Rightarrow & (\sin (x^n){)}^{\frac{1}{n}}<(\sin (x^{n+1}){)}^{\frac{1}{n}}<(\sin (x^{n+1}){)}^{\frac{1}{n+1}},\end{array}$$
   即 ${\displaystyle b_n<b_{n+1}}$, 故 ${\displaystyle \{b_n\}}$ 递增.