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已知椭圆 ${\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ (${\displaystyle a>b>0}$) 的左、右焦点分别为 ${\displaystyle F_1,F_2}$, 离心率为 ${\displaystyle e}$. 若点 ${\displaystyle P(x_0,\frac{3}{2})}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上, 且 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}$ 内心为 ${\displaystyle I(\frac{1}{2},\frac{1}{2})}$, 半径为 ${\displaystyle r}$, 则

• A. ${\displaystyle r=\frac{1}{2}}$
• B. ${\displaystyle e=\frac{1}{2}}$
• C. ${\displaystyle a=2}$
• D. ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}$ 为锐角三角形

• A ${\displaystyle r=y_I=\frac{1}{2}}$, 显然正确.
• B ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}$ 的面积可以有两种表示方法: $$S=\frac{1}{2}(2c)y_P=\frac{1}{2}(2a+2c)r\Rightarrow \frac{3}{2}e=(1+e)r,$$ 解得 ${\displaystyle e=\frac{1}{2}}$. 所以正确. 同时也能得到 ${\displaystyle a:b:c=2:\sqrt{3}:1}$.
• C 现在还有 ${\displaystyle x_I=\frac{1}{2}}$ 的条件没用. 设 ${\displaystyle I}$ 在 ${\displaystyle x}$ 轴上的投影为 ${\displaystyle H}$, 则根据内心的性质, $$P{F}_1-P{F}_2=H{F}_1-H{F}_2=(c+\frac{1}{2})-(c-\frac{1}{2})=1.$$ 另一方面根据焦半径公式 $$P{F}_1-P{F}_2=(a+e{x}_P)-(a-e{x}_P)=2e{x}_P=x_P,$$ 所以 ${\displaystyle x_P=1}$. 将 ${\displaystyle P(1,\frac{3}{2})}$ 和 ${\displaystyle b=\frac{\sqrt{3}}{2}a}$ 代入 ${\displaystyle C}$ 中, 解得 ${\displaystyle a=2}$, 正确. 同时也能得到 ${\displaystyle c=1}$.
• D 既然前三个都对了, 那这个可以扔咯 因为 ${\displaystyle x_P=1=x_{F_2}}$, 所以 ${\displaystyle P{F}_2\perp F_1{F}_2}$, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}$ 是直角三角形, 错误!

综上, 答案是 ABC.