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记椭圆 ${\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ (${\displaystyle a>b>0}$) 的焦点分别为 ${\displaystyle F_1,F_2}$, 点 ${\displaystyle P}$ 在直线 ${\displaystyle y=x+a}$ 上. 若 ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2={45}^{\circ }}$, 求 ${\displaystyle C}$ 的离心率的取值范围.

${\displaystyle P}$ 在 ${\displaystyle A(-a,0)}$ 时 ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2=0^{\circ }}$, 所以要让 ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2={45}^{\circ }}$, 只需要最大的角不小于 ${\displaystyle {45}^{\circ }}$ 即可. 考虑一个以 ${\displaystyle F_1{F}_2}$ 为弦的圆 ${\displaystyle O^{\prime }}$, 它慢慢靠近 ${\displaystyle y=x+a}$ 直到相切, 设切点为 ${\displaystyle P}$, 则此时 ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2}$ 达到最大. 设为 ${\displaystyle {45}^{\circ }}$.
其实容易看出 ${\displaystyle P,O^{\prime },F_2}$ 共线. 这是因为, ${\displaystyle \mathrm{\angle }PA{F}_1=\mathrm{\angle }{O}^{\prime }{F}_{1}O={45}^{\circ }}$ 可以推出 ${\displaystyle PA//O^{\prime }{F}_1}$. 这样 ${\displaystyle \mathrm{\angle }P{O}^{\prime }{F}_1={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }AP{O}^{\prime }={90}^{\circ }}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_1{O}^{\prime }{F}_2={90}^{\circ }}$, 就推出 ${\displaystyle \mathrm{\angle }P{O}^{\prime }{F}_2={180}^{\circ }}$.
这样 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}$ 是一个等腰直角三角形, ${\displaystyle P{F}_1=F_1{F}_2}$, 也即 ${\displaystyle a-c=2c}$, 所以 ${\displaystyle e=\frac{1}{3}}$.
椭圆应该是越扁越好, 所以 ${\displaystyle e\in [\frac{1}{3},1)}$.

设 ${\displaystyle P(x,x+a)}$, ${\displaystyle F_1(-c,0)}$, ${\displaystyle F_2(c,0)}$. 要让 ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2={45}^{\circ }}$, 则 ${\displaystyle x>-a}$.

• 当 ${\displaystyle k_{P{F}_1}=\frac{x+a}{x+c}}$ 和 ${\displaystyle k_{P{F}_2}=\frac{x+a}{x-c}}$ 都存在, 由倒角公式 $$1=\frac{k_{P{F}_2}-k_{P{F}_1}}{1+k_{P{F}_2}{k}_{P{F}_1}}=\frac{(2c)(x+a)}{2(x+a{)}^2-2a(x+a)+(a^2-c^2)}=\frac{2c}{2(x+a)+\frac{a^2-c^2}{x+a}-2a},$$ 所以 $$2c=2(x+a)+\frac{a^2-c^2}{x+a}-2a\ge 2\sqrt{2(a^2-c^2)}-2a,$$ 解得 ${\displaystyle e\in [\frac{1}{3},1)}$. 严格来说 ${\displaystyle x\ne -c}$, 此时 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 无法取到, 唔不过小题来说也差不多了.
• 当 ${\displaystyle x=-c}$ 且 ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2={45}^{\circ }}$, 则 ${\displaystyle P,(-a,0),F_1}$ 构成等腰直角三角形, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}$ 也是等腰直角三角形, ${\displaystyle P{F}_1=F_1{F}_2}$, 也即 ${\displaystyle a-c=2c}$, 所以 ${\displaystyle e=\frac{1}{3}}$.
• 当 ${\displaystyle x=c}$ 且 ${\displaystyle \mathrm{\angle }{F}_{1}P{F}_2={45}^{\circ }}$, 这意味着 ${\displaystyle F_1,(-a,0)}$ 应该重合, 也即对应 ${\displaystyle e\to 1}$ 的情形.

综上, ${\displaystyle e\in [\frac{1}{3},1)}$.