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已知函数 ${\displaystyle f(x)={\mathrm{e}}^x-a{x}^2-x}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 为 ${\displaystyle f(x)}$ 的导数.

1. 讨论 ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 的单调性;
2. 若 ${\displaystyle x=0}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的极大值点，求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
3. 若 ${\displaystyle \theta \in {\displaystyle (0,\frac{\pi }{2})}}$, 证明: ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\sin \theta -1}+{\mathrm{e}}^{\cos \theta -1}+\ln (\sin \theta \cos \theta )<1}$.

1. 解 ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x-2ax-1,f^{″}(x)={\mathrm{e}}^x-2a}$. 因此当 ${\displaystyle a\le 0}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })}$ 上单增; 当 ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },\ln 2a)}$ 上减，在 ${\displaystyle (\ln 2a,+\mathrm{\infty })}$ 上增.
2. 解 首先，总是有 ${\displaystyle f^{\prime }(0)=0}$. 其次 ${\displaystyle x=0}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的极大值点意味着 ${\displaystyle f^{″}(0)=1-2a<0\Rightarrow a>{\displaystyle \frac{1}{2}}}$.
3. 证明 首先证明引理: ${\displaystyle g(x)={\mathrm{e}}^{x-1}+\ln x-x^2<0,x\in (0,1)}$. 注意到 $$g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x-1}+\frac{1}{x}-2x>x+1-2x>0,$$ 故 ${\displaystyle g(x)<g(1)=0,x\in (0,1)}$, 引理得证. 从而，$$\begin{array}{r}\text{左边}=g(\sin \theta )+{\sin }^2\theta +g(\cos \theta )+{\cos }^2\theta <{\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1.\end{array}$$