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已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0, b > 0$ ) 的焦点到其渐近线的距离为 $\sqrt{2}$ , 点 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ 在 $C$ 上.

求 $C$ 的方程;
点 $A, B$ 分别在 $C$ 的两条渐近线上运动, 且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ , 线段 $A B$ 的中点为 $M$ .
1. 设 $E (0, \sqrt{3})$ , $F (0, - \sqrt{3})$ , 求 $| M E | \cdot | M F |$ 的最大值;
2. 设 $P (- t, 0)$ , $Q (t, 0)$ ( $t > 1$ ), 点 $M$ 不在 $x$ 轴上, 若 $∠ M Q P = 2 ∠ M P Q$ , 求 $\frac{| M P |}{| M Q |}$ 的取值范围.

解

由题意 $b = \sqrt{2}$ , $\frac{2}{a^{2}} - \frac{2}{b^{2}} = 1$ , 所以 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ .
不妨设 $A (x_{1}, \sqrt{2} x_{1})$ , $B (x_{2}, - \sqrt{2} x_{2})$ , 则 $M (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{\sqrt{2} (x_{1} - x_{2})}{2})$ . 这样 $| A B | = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + 2 (x_{1} + x_{2})^{2}} = \sqrt{8 x_{M}^{2} + 2 y_{M}^{2}} = 2 \sqrt{2},$ 从而 $x_{M}^{2} + \frac{y_{M}^{2}}{4} = 1$ .
1. 根据上面的结果, $M$ 的轨迹是以 $E, F$ 为焦点, $4$ 为长轴长的椭圆, 所以 $| M E | + | M F | = 4$ , 所以 $| M E | \cdot | M F | \leq \frac{(| M E | + | M F |)^{2}}{4} = 4$ .
2. 记 $k_{M P} = k_{1}$ , $k_{M Q} = k_{2}$ . 联立 $l_{M P} : y = k_{1} (x + t)$ 与 $l_{M Q} : y = k_{2} (x - t)$ , 解得 $M (\frac{t (k_{1} + k_{2})}{k_{2} - k_{1}}, \frac{2 t k_{1} k_{2}}{k_{2} - k_{1}})$ . 把它代入椭圆轨迹方程: $\frac{t^{2} (k_{1} + k_{2})^{2}}{(k_{2} - k_{1})^{2}} + \frac{t^{2} k_{1}^{2} k_{2}^{2}}{(k_{2} - k_{1})^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{t^{2}} = \frac{k_{1}^{2} k_{2}^{2} + (k_{1} + k_{2})^{2}}{(k_{2} - k_{1})^{2}} < 1.$ 整理得 $(k_{1} k_{2})^{2} + 4 k_{1} k_{2} < 0$ , 也即 $\begin{matrix} (*) & - 4 < k_{1} k_{2} < 0 . \end{matrix}$ 另一方面记 $∠ M P Q = θ$ , $∠ M Q P = 2 θ$ . 则 $k_{1} = \tan θ$ , $k_{2} = - \tan 2 θ$ , 所以 $k_{2} = - \frac{2 k_{1}}{1 - k_{1}^{2}}$ , 代入 (*) 得 $- 4 < \frac{2 k_{1}^{2}}{k_{1}^{2} - 1} < 0 \Rightarrow 0 < k_{1}^{2} < \frac{2}{3},$ 所以 $\cos^{2} θ = \frac{1}{\tan^{2} θ + 1} \in (\frac{3}{5}, 1)$ . 而在 $Δ M P Q$ 中 $θ + 2 θ < π$ , 所以 $\cos θ > 0$ , $\cos θ \in (\frac{\sqrt{15}}{5}, 1)$ .
  最后利用正弦定理 $\frac{M P}{M Q} = \frac{\sin 2 θ}{\sin θ} = 2 \cos θ \in (\frac{2 \sqrt{15}}{5}, 2)$ .