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试求最大的实数 ${\displaystyle a}$ 和最小的实数 ${\displaystyle b}$, 使得对所有区间 ${\displaystyle [0,\pi ]}$ 中的 ${\displaystyle x}$, 都有 $$ax(\pi -x)\le \sin x\le bx(\pi -x).$$

如果 ${\displaystyle x\in [\frac{\pi }{2},\pi ]}$, 作换元 ${\displaystyle x^{\prime }=\pi -x\in [0,\frac{\pi }{2}]}$, 则不等式等价于 $$a{x}^{\prime }(\pi -x^{\prime })\le \sin x^{\prime }\le b{x}^{\prime }(\pi -x^{\prime }),$$ 说明可以只研究 ${\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}$ 这个范围. 记 ${\displaystyle f_t(x)=\sin x-tx(\pi -x)}$.

• 先看 ${\displaystyle a}$. 首先证明 ${\displaystyle g(x)=f_{\frac{1}{\pi }}(x)\ge 0}$. 此时 ${\displaystyle g^{\prime }(x)=\cos x-1+\frac{2x}{\pi }}$, ${\displaystyle g^{″}(x)=\frac{2}{\pi }-\sin x}$, 所以 ${\displaystyle g^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,\arcsin \frac{2}{\pi })}$ 上增, 在 ${\displaystyle (\arcsin \frac{2}{\pi },\frac{\pi }{2})}$ 上减, 所以 ${\displaystyle g^{\prime }(x)\ge min\{g^{\prime }(0),g^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)\}=0}$, 所以 ${\displaystyle g(x)\ge g(0)=0}$. 而如果 ${\displaystyle a>\frac{1}{\pi }}$, ${\displaystyle f_a^{\prime }(0)=1-a\pi <0}$, 则不能有 ${\displaystyle f_t(x)\ge 0}$ 恒成立. 所以 ${\displaystyle a}$ 的最大值为 ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$.
• 再看 ${\displaystyle b}$. 代入 ${\displaystyle x=\frac{\pi }{2}}$, 有 ${\displaystyle 1-\frac{{\pi }^2}{4}b\le 0}$, 所以 ${\displaystyle b\ge \frac{4}{{\pi }^2}}$. 再证明 ${\displaystyle h(x)=f_{\frac{4}{{\pi }^2}}(x)\le 0}$. 此时 ${\displaystyle h^{\prime }(x)=\cos x+\frac{8}{{\pi }^2}x-\frac{4}{\pi }}$, ${\displaystyle h^{″}(x)=-\sin x+\frac{8}{{\pi }^2}}$. 所以 ${\displaystyle h^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,\arcsin \frac{8}{{\pi }^2})}$ 上增, 在 ${\displaystyle (\arcsin \frac{8}{{\pi }^2},\frac{\pi }{2})}$ 上减. 而 ${\displaystyle h^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=0}$, ${\displaystyle h^{\prime }(0)=1-\frac{4}{\pi }<0}$, 所以 ${\displaystyle h^{\prime }(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,\arcsin \frac{8}{{\pi }^2})}$ 上还存在一个零点. 所以 ${\displaystyle h(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,x_0)}$ 上减, 在 ${\displaystyle (x_0,\frac{\pi }{2})}$ 上增. 所以 ${\displaystyle h(x)\le max\{h(0),h\left(\frac{\pi }{2}\right)\}=0}$. 所以 ${\displaystyle b}$ 的最小值为 ${\displaystyle \frac{4}{{\pi }^2}}$.

综上, ${\displaystyle a}$ 的最大值为 ${\displaystyle \frac{1}{\pi }}$, ${\displaystyle b}$ 的最小值为 ${\displaystyle \frac{4}{{\pi }^2}}$.