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已知函数 ${\displaystyle f(x)=|\ln x|+\frac{a}{x}(a\ne 0)}$.

1. 若 ${\displaystyle a=1}$, 求 ${\displaystyle f(x)}$ 的最小值;
2. 讨论 ${\displaystyle f(x)}$ 的单调性;
3. 若 ${\displaystyle f(x)}$ 有且仅有三个不同零点为 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$, 证明: ${\displaystyle x_1+x_2+x_3>\frac{2a^2-4a+1}{1-a}}$.

由题意, ${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{rl}& -\ln x+\frac{a}{x},0<x<1,\\ & \ln x+\frac{a}{x},x\ge 1,\end{array}}$ 从而 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{rl}& -\frac{x+a}{x^2},0<x<1,\\ & \frac{x-a}{x^2},x\ge 1.\end{array}}$

1. 解 当 ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle 0<x<1}$ 时 ${\displaystyle f^{\prime }(x)<0}$; ${\displaystyle x\ge 1}$ 时 ${\displaystyle f^{\prime }(x)>0}$, 所以 ${\displaystyle f(x)}$ 的最小值为 ${\displaystyle f(1)=1}$.
2. 解
   • 当 ${\displaystyle a\ge 1}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,a)}$ 上减, 在 ${\displaystyle (a,+\mathrm{\infty })}$ 上增;
   • 当 ${\displaystyle 0\le a<1}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,1)}$ 上减, 在 ${\displaystyle (1,+\mathrm{\infty })}$ 上增;
   • 当 ${\displaystyle -1<a<0}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,-a),(1,+\mathrm{\infty })}$ 上增, 在 ${\displaystyle (-a,1)}$ 上减;
   • 当 ${\displaystyle a\le -1}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$ 上增.
3. 证明 不妨设 ${\displaystyle x_1<x_2<x_3}$. ${\displaystyle f(x)}$ 要有三个零点, 意味着至少有两个极值点, 所以由 2 得 ${\displaystyle -1<a<0}$, 且 ${\displaystyle x_1<-a<x_2<1<x_3}$.
   首先由 ${\displaystyle f(x_1)=f(x_2)=0}$, 有 $$\ln x_1-\ln x_2=\frac{a}{x_1}-\frac{a}{x_2}\Rightarrow \frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=-\frac{x_1{x}_2}{a}.$$ 由对数均值不等式有 $$\sqrt{x_1{x}_2}<\frac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=-\frac{x_1{x}_2}{a}=<\frac{x_1+x_2}{2},$$ 有 ${\displaystyle x_1+x_2>2\sqrt{x_1{x}_2}>-2a.}$ 这和右边已经很接近了. 再考虑估计 ${\displaystyle x_3}$: $$0=\ln x_3+\frac{a}{x_3}<x_3-1+\frac{a}{x_3}\Rightarrow x_3>\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}.$$ 所以只需要证明 $$\begin{array}{rl}& x_1+x_2+x_3>-2a+\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}>\frac{2a^2-4a+1}{1-a}\\ \Leftarrow & \sqrt{1-4a}>1-\frac{2a}{1-a}\\ \Leftarrow & 1-4a>1-\frac{4a}{1-a}+\frac{4a^2}{(1-a{)}^2}\\ \Leftarrow & -\frac{a}{1-a}>-\frac{a}{(1-a{)}^2}\\ \Leftarrow & 1-a>1,\end{array}$$ 从而得证.