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平面凸四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 中, ${\displaystyle A=\frac{\pi }{3}}$, ${\displaystyle \cos B=-\frac{\sqrt{3}}{6}}$, ${\displaystyle AB=1}$, ${\displaystyle AD=2}$, 若满足上述条件的平面凸四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 有且只有 ${\displaystyle 1}$ 个, 则 ${\displaystyle CD}$ 的取值范围为_____.

如图, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABD}$ 就是经典的带 ${\displaystyle {30}^{\circ }}$ 角的直角三角形. 因为 ${\displaystyle \mathrm{\angle }B}$ 已经确定, 所以 ${\displaystyle C}$ 在一条固定的射线 ${\displaystyle l}$ 上移动, 记 ${\displaystyle C_0}$ 为 ${\displaystyle D}$ 在 ${\displaystyle l}$ 上的投影, ${\displaystyle C_1}$ 为 ${\displaystyle AD}$ 延长线与 ${\displaystyle l}$ 的交点.
在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABE}$ 中, ${\displaystyle \sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\frac{\sqrt{33}}{6}}$, 所以 $$\sin C_1=\sin (A+B)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot (-\frac{\sqrt{3}}{6})=\frac{\sqrt{33}-3}{12},$$ 所以根据正弦定理 $$A{C}_1=AB\cdot \frac{\sin B}{\sin C_1}=\frac{11+\sqrt{33}}{4},$$ 这样 $$D{C}_1=A{C}_1-AD=\frac{3+\sqrt{33}}{4}>\sqrt{3}=BD,$$ 所以如果 ${\displaystyle ABCD}$ 只有一个, 则 $$CD\in [B_{1}D,C_{1}D)\cup \{D{C}_0\},$$ 这里 ${\displaystyle B_1}$ 是 ${\displaystyle B}$ 关于 ${\displaystyle C_0}$ 的对称点, 在线段 ${\displaystyle C_0{C}_1}$ 上, 而 $$D{C}_0=DB\sin (B-\frac{\pi }{2})=-\sqrt{3}\cos B=\frac{1}{2},$$ 所以最后的答案是 ${\displaystyle [\sqrt{3},\frac{3+\sqrt{33}}{4})\cup \left\{\frac{1}{2}\right\}}$.