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如图, 已知 ${\displaystyle \omega >0}$, 在函数 ${\displaystyle f(x)=\sin (\omega x+\phi )}$ 的部分图象中, 其图象上的点 ${\displaystyle A,B,C}$ 是同一直线上的三点, 且该直线与 ${\displaystyle x}$ 轴交于点 ${\displaystyle D}$. 若 ${\displaystyle |AD|=|DB|=|BC|=1}$, 则 ${\displaystyle \omega =}$ _____.

设 ${\displaystyle D(x_0,0)}$, ${\displaystyle A(x_0-t,y_0)}$, ${\displaystyle B(x_0+t,-y_0)}$, ${\displaystyle C(x_0+2t,-2y_0)}$. 不妨设 ${\displaystyle \phi =0}$^[1]. 根据正弦图像的对称性, ${\displaystyle x_B-x_A}$ 就是半周期^[2], 也即 ${\displaystyle 2t=\frac{\pi }{\omega }}$.
又因为 ${\displaystyle B}$ 满足 $$-y_0=\sin (\omega (x_0+t))=\sin (\omega x_0+\frac{\pi }{2})=\cos (\omega x_0),$$${\displaystyle C}$ 满足 $$-2y_0=\sin (\omega (x_0+2t))=\sin (\omega x_0+\pi )=-\sin (\omega x_0),$$ 所以解得 ${\displaystyle y_0^2=\frac{1}{5}}$.
取 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle x}$ 轴上的投影 ${\displaystyle A^{\prime }}$, 在直角三角形 ${\displaystyle AD{A}^{\prime }}$ 中, 利用勾股定理: $$t^2+y_0^2={\left(\frac{\pi }{2\omega }\right)}^2+\frac{1}{5}=1,$$ 所以 ${\displaystyle \omega =\frac{\sqrt{5}\pi }{4}}$.