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比较下面三数大小: ${\displaystyle a={\mathrm{e}}^{\pi },b={\pi }^{\mathrm{e}},c=(\sqrt{2}{)}^{\mathrm{e}\pi }}$.

构造函数 ${\displaystyle f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x},x>0}}$，有 ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^2}}}$,这样 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [\mathrm{e},+\mathrm{\infty })}$ 上单减，进而 $$f(4)<f(\pi )<f(\mathrm{e})\Rightarrow \frac{\ln 2}{2}<\frac{\ln \pi }{\pi }<\frac{1}{\mathrm{e}}.$$
要比较${\displaystyle a,b}$，即比较${\displaystyle \pi ,\mathrm{e}\ln \pi }$，则${\displaystyle a>b}$.要比较${\displaystyle b,c}$，即比较${\displaystyle \mathrm{e}\ln \pi ,{\displaystyle \frac{\mathrm{e}\pi }{2}\ln 2}}$的大小，则${\displaystyle b>c}$，综上${\displaystyle a>b>c}$.