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若 ${\displaystyle {\displaystyle \sin \frac{\pi }{10}}}$ 是函数 ${\displaystyle f(x)=a{x}^3-bx+1(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast })}$ 的一个零点，求 ${\displaystyle f(1)}$.

记 ${\displaystyle t={\displaystyle \sin \frac{\pi }{10}}}$.注意到^[1]$$\begin{array}{r}\sin \frac{2\pi }{10}=\cos \frac{3\pi }{10}\Rightarrow 2\sin \frac{\pi }{10}\cos \frac{\pi }{10}=4\cos \frac{\pi }{10}(1-{\sin }^2\frac{\pi }{10})-3\cos \frac{\pi }{10},\end{array}$$
整理得 $$\begin{array}{r}4t^2+2t-1=0,\end{array}$$
待定系数 ${\displaystyle k\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$: $$\begin{array}{r}(kt-1)(4t^2+2t-1)=4k{t}^3+(2k-4)t^2-(k+2)t+1=a{t}^3-bt+1=0,\end{array}$$
因此比对二次项系数可知 $$k=2,f(x)=8x^3-4x+1\Rightarrow f(1)=5.$$

还需要说明一下 ${\displaystyle f(x)}$ 的表达式是唯一的.如果 ${\displaystyle f(x)=a^{\prime }{x}^3-b^{\prime }x+1}$,则由 ${\displaystyle f(t)=0}$ 作差得 $$\begin{array}{r}(a-a^{\prime })t^2=b-b^{\prime },\end{array}$$ 但是 ${\displaystyle t^2}$ 是一个无理数(可以解出 ${\displaystyle t={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}}$)，因此只能 ${\displaystyle a=a^{\prime },b=b^{\prime }}$.综上 ${\displaystyle f(1)=5}$.