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${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积为 ${\displaystyle 1}$.

1. 求 ${\displaystyle {\displaystyle a^2+\frac{1}{\sin A}}}$ 的最小值;
2. 求 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a^2+1}{\sin A}}}$ 的最小值.

由条件 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A=1}}$; 由余弦定理$$\begin{array}{r}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A\ge 2bc(1-\cos A)=\frac{4(1-\cos A)}{\sin A}.\end{array}$$

1. 注意到$$\begin{array}{rl}{A}^2+\frac{1}{\sin A}\ge & \frac{5-4\cos A}{\sin A}\ge \frac{(4\cos A+3\sin A)-4\cos A}{\sin A}=3.\end{array}$$
2. 记 ${\displaystyle t=\tan {\displaystyle \frac{A}{2}>0}}$, 则$$\text{begin{align*} frac{a^2+1}{sin A}geq \& frac{4-4cos A+sin A}{sin { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} A}=frac{8sin^2frac{A}{2}+2sinfrac{A}{2}cosfrac{A}{2}}{4sin^2frac{A}{2}cos^2frac{A}{2}} =\& frac{4sinfrac{A}{2}+cosfrac{A}{2}}{2sinfrac{A}{2}}cdot frac{sin^2frac{A}{2}+cos^2frac{A}{2}}{cos^2frac{A}{2}}=frac{1}{2}left(4t^2+t+4+frac{1}{t}right). end{align*}}$$
   对最后的表达式求导，可以得到最小值在极值点 ${\displaystyle t_0}$ 处取到，${\displaystyle t_0}$ 是方程 ${\displaystyle 8t^3+t^2-1=0}$ 的正根, 最小值的数值约为 ${\displaystyle 3.74}$.