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已知函数 ${\displaystyle f(x)=x-\ln (ax),a\ne 0}$.

1. 当 ${\displaystyle a=1}$ 时，求函数 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x=1}$ 处的切线方程;
2. 若函数 ${\displaystyle f(x)}$ 有且只有 ${\displaystyle 1}$ 个极值点，求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
3. 若 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x}f(x)\ge 1}$ 在 ${\displaystyle [1,+\mathrm{\infty })}$ 上恒成立，求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

1. 此时 ${\displaystyle f(1)=1,f^{\prime }(1)=0}$, 故所求切线方程为 ${\displaystyle y=1}$.
2. 若 ${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle f(x)}$ 没有极值点; 若 ${\displaystyle a<0}$, 由于 ${\displaystyle f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x}>0,x<0}}$, ${\displaystyle f(x)}$ 依然没有极值点; 若 ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle f(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{x},x>0}}$, ${\displaystyle f(x)}$ 有唯一极值点 ${\displaystyle x=1}$. 综上，${\displaystyle a>0}$.
3. 此时默认 ${\displaystyle a\ge 0}$. 若 ${\displaystyle a=0}$, 则 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x}f(x)={\mathrm{e}}^{x}x\ge \mathrm{e}>1}$，显然成立; 若 ${\displaystyle a>0}$, 不等式等价于 $$\begin{array}{r}\ln a\le x-\ln x-{\mathrm{e}}^{-x}.\end{array}$$
   而${\displaystyle (x-\ln x-{\mathrm{e}}^{-x}{)}^{\prime }={\displaystyle 1-\frac{1}{x}+{\mathrm{e}}^{-x}>0,x\ge 1}}$, 故只需要$$\begin{array}{r}\ln a\le 1-{\mathrm{e}}^{-1}\Rightarrow a\le {\mathrm{e}}^{1-{\mathrm{e}}^{-1}}.\end{array}$$
   综上，${\displaystyle a\in [0,{\mathrm{e}}^{1-{\mathrm{e}}^{-1}}]}$.