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已知 ${\displaystyle \{a_{n+1}{2}^{n+1}-a_n{2}^n\}}$ 是公差为 ${\displaystyle 2}$ 的等差数列，数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的前 ${\displaystyle n}$ 项和为 ${\displaystyle S_n}$, 且 ${\displaystyle a_1={\displaystyle \frac{3}{2},a_2=2}}$.

1. 求 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的通项公式;
2. 求 ${\displaystyle S_n}$;
3. ${\displaystyle [x]}$ 表示不超过 ${\displaystyle x}$ 的最大整数，当 ${\displaystyle n\ge k}$ 时，${\displaystyle [S_n]}$ 是定值，求正整数 ${\displaystyle k}$ 的最小值.

1. 由于 ${\displaystyle 4a_2-2a_1=5}$, 故 ${\displaystyle a_{n+1}{2}^{n+1}-a_n{2}^n=3+2n}$, 从而累加可得 ${\displaystyle a_n={\displaystyle \frac{n^2+2n}{2^n}}}$.
2. 注意到$$\begin{array}{r}{A}_n=\frac{n^2+2n}{2^n}=\frac{(n-1{)}^2+6(n-1)+10}{2^{n-1}}-\frac{n^2+6n+10}{2^n},\end{array}$$
   从而$$\begin{array}{r}{S}_n=a_1+\cdots +a_n=10-\frac{n^2+6n+10}{2^n}.\end{array}$$
3. 自然地 ${\displaystyle S_n\to 10}$, 也即定值 ${\displaystyle [S_n]=9}$. 因此只需要解不等式 $$n^2+6n+10>2^n.$$ 注意到这个式子对 ${\displaystyle n=1,\cdots ,6}$ 成立，下面证明对 ${\displaystyle n\ge 7}$ 均不成立即可. 当 ${\displaystyle n=7}$，直接计算验证；当 ${\displaystyle n\ge 8}$，进行胡乱放缩$$\begin{array}{rl}{n}^2+6n+10-2^n<& 2n^2+10-2^n<2(n^2+n-2\cdot 2^{n-2})\\ <& 2(n^2+n-2(n-2{)}^2)=-2(n-1)(n-8)\le 0,\end{array}$$
   因此${\displaystyle k}$最小值是${\displaystyle 7}$.