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已知动点 ${\displaystyle P(x,y)}$ 的轨迹方程为 ${\displaystyle x^2-4y^2-\sqrt{x^2-4y^2}+m=0}$, 其中 ${\displaystyle m\in {\displaystyle (-\mathrm{\infty },\frac{1}{4}]}}$，则 ${\displaystyle {\displaystyle \sqrt{\frac{5}{4}{x}^2-8y+16}}}$ 的最小值为_____.

${\displaystyle P}$ 的轨迹方程事实上是关于 ${\displaystyle \sqrt{x^2-4y^2}}$ 的二次方程. 随着 ${\displaystyle m}$ 的取值，${\displaystyle \sqrt{x^2-4y^2}}$ 可以取遍 ${\displaystyle [0,+\mathrm{\infty })}$ 的取值. 不妨设 ${\displaystyle x^2-4y^2=t\ge 0}$, 则$$\begin{array}{r}\sqrt{\frac{5}{4}{x}^2-8y+16}=\sqrt{\frac{5}{4}(t+4y^2)-8y+16}\ge \sqrt{5y^2-8y+16}\ge \frac{8\sqrt{5}}{5},\end{array}$$
取等当且仅当${\displaystyle y={\displaystyle \frac{4}{5},x=\pm 2y,m=0}}$.