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在四面体 ${\displaystyle P-ABC}$ 中，${\displaystyle 2\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB},5\overrightarrow{PE}=2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC},2\overrightarrow{PF}=-\overrightarrow{PC}+3\overrightarrow{PA}}$, 设四面体 ${\displaystyle P-ABC}$ 与四面体 ${\displaystyle P-DEF}$ 的体积分别为 ${\displaystyle V_1,V_2}$, 则 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}}$ 的值为_____.

显然 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{V_2}{V_1}=\frac{S_{\mathrm{\Delta }DEF}}{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}}}$. 如图，${\displaystyle D}$ 在线段 ${\displaystyle AB}$ 上，${\displaystyle E}$ 在线段 ${\displaystyle BC}$ 上，${\displaystyle F}$ 在线段 ${\displaystyle CA}$ 的延长线上, 且 ${\displaystyle AD=DB,2BE=3EC,2CF=3AF}$. 从而$$\begin{array}{r}\frac{S_{\mathrm{\Delta }DEF}}{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}=\frac{S_{\mathrm{\Delta }ABC}+S_{\mathrm{\Delta }ADF}-S_{\mathrm{\Delta }EFC}-S_{\mathrm{\Delta }DBE}}{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}=1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}=\frac{7}{20}.\end{array}$$