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设函数 ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{2,3,4\}}$ 满足 ${\displaystyle f(f(x)-1)=f(x)}$, 则这样的函数有_____个.

• 如果 ${\displaystyle f}$ 的值域是单元集，显然成立，有 ${\displaystyle 3}$ 种情况;
• 如果 ${\displaystyle f}$ 是满射，则分别在等式中代入 ${\displaystyle f(x)=2,3,4}$, 有 ${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4}$, 有 ${\displaystyle 1}$ 种情况;
• 如果 ${\displaystyle f}$ 的值域是二元集，不妨设是 ${\displaystyle \{2,3\}}$, 则在等式中代入 ${\displaystyle f(x)=2,3}$, 有 ${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3}$, 则 ${\displaystyle f(3)}$ 可取 ${\displaystyle 2,3}$; 故有 ${\displaystyle 3\times 2=6}$ 种情形.

综上，这样的函数有 ${\displaystyle 10}$ 个.