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已知双曲线 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a,b>0)}}$ 上存在关于原点中心对称的两点 ${\displaystyle A,B}$, 以及双曲线上的另一点 ${\displaystyle C}$, 使得 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 为正三角形，求该双曲线离心率的取值范围.

当 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 为正三角形，则 ${\displaystyle OC\perp OA}$, 且 ${\displaystyle OC=\sqrt{3}OA}$. 设 ${\displaystyle A(x_0,y_0)}$, 则 ${\displaystyle |x_C|=\sqrt{3}|y_0|,|y_C|=\sqrt{3}|x_0|}$. 由于 ${\displaystyle A,C}$ 都在双曲线上，故有$$\begin{array}{r}\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1,\frac{y_0^2}{a^2}-\frac{x_0^2}{b^2}=\frac{1}{3}.\end{array}$$
消去${\displaystyle x_0}$得$$\begin{array}{r}{y}_0^2(\frac{1}{a^2}-\frac{a^2}{b^4})=\frac{1}{3}+\frac{a^2}{b^2}.\end{array}$$
至少要${\displaystyle y_0^2>0}$, 因此$$\begin{array}{r}\frac{1}{a^2}-\frac{a^2}{b^4}>0\Rightarrow b^2=c^2-a^2>a^2\Rightarrow e>\sqrt{2}.\end{array}$$
此时依据${\displaystyle {\displaystyle \frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1}}$, 显然有${\displaystyle x_0^2>0}$.