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求所有的 ${\displaystyle a}$，使 ${\displaystyle |x^2+ax+2|\ge |x+1|}$ 对 ${\displaystyle \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}}$ 恒成立.

去除 ${\displaystyle x=0}$ 的显然成立情形后，这个不等式等价于$$\begin{array}{rl}& (x^2+ax+2{)}^2-(x+1{)}^2=[x^2+(a+1)x+3][x^2+(a-1)x+1]\ge 0\\ \Rightarrow & (a+1+x+\frac{3}{x})(a-1+x+\frac{1}{x})\ge 0\\ \Rightarrow & a\ge max\{-x-\frac{3}{x}-1,-x-\frac{1}{x}+1\}\text{或}a\le min\{-x-\frac{3}{x}-1,-x-\frac{1}{x}+1\},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{0\}.\end{array}$$

• 在 ${\displaystyle x<0}$ 时，只能取分支 $$\begin{array}{r}a\le \underset{x<0}{min}\{-x-\frac{3}{x}-1,-x-\frac{1}{x}+1\}=2\sqrt{3}-1.\end{array}$$
• 在 ${\displaystyle x>0}$ 时，只能取分支 $$\begin{array}{r}a\ge \underset{x>0}{max}\{-x-\frac{3}{x}-1,-x-\frac{1}{x}+1\}=-1,\end{array}$$

故答案为${\displaystyle a\in [-1,2\sqrt{3}-1]}$.