1032

已知双曲线 ${\displaystyle C:x^2-y^2=m(m>0)}$, 点 ${\displaystyle P_1(5,4)}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上，${\displaystyle k}$ 为常数，且 ${\displaystyle 0<k<1}$. 按照如下公式依次构造点 ${\displaystyle P_n(x_n,y_n)(n=2,3,\cdots )}$: 过点 ${\displaystyle P_{n-1}}$ 作斜率为 ${\displaystyle k}$ 的直线与 ${\displaystyle C}$ 的左支点交于点 ${\displaystyle Q_{n-1}}$, 令 ${\displaystyle P_n}$ 是 ${\displaystyle Q_{n-1}}$ 关于 ${\displaystyle y}$ 轴的对称点.

1. 若 ${\displaystyle k={\displaystyle \frac{1}{2}}}$, 求 ${\displaystyle x_2,y_2}$;
2. 证明: 数列 ${\displaystyle \{x_n-y_n\}}$ 是公比为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1+k}{1-k}}}$ 的等比数列;
3. 设 ${\displaystyle S_n}$ 为 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{P}_n{P}_{n+1}{P}_{n+2}}$ 的面积，证明：对于任意正整数 ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle S_{n+1}=S_n}$.

1. 解 当 ${\displaystyle k={\displaystyle \frac{1}{2}}}$, ${\displaystyle l_{P_1{Q}_1}:y-4={\displaystyle \frac{1}{2}(x-5)}}$, 与 ${\displaystyle C}$ 联立得 ${\displaystyle x=-3}$ 或 ${\displaystyle x=5}$ (舍去). 因此 ${\displaystyle Q_1(-3,0),P_2(3,0)}$, 故 ${\displaystyle x_2=3,y_2=0}$.
2. 证明 由题意 ${\displaystyle Q_{n-1}(-x_n,y_n)}$. 一方面，${\displaystyle Q_{n-1}}$ 在 ${\displaystyle l_{Q_{n-1}{P}_{n-1}}}$ 上:$$\begin{array}{r}{y}_n-y_{n-1}=-k(x_n+x_{n-1}).\end{array}$$
   另一方面 ${\displaystyle Q_{n-1},P_{n-1}}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上得到 $$\begin{array}{r}{x}_n^2-y_n^2=x_{n-1}^2-y_{n-1}^2=9\Rightarrow (x_n-x_{n-1})(x_n+x_{n-1})=(y_n-y_{n-1})(y_n+y_{n-1}).\end{array}$$
   从而联立两式，消去 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{y_n-y_{n-1}}{x_n+x_{n-1}}}}$, 得 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& y_n-y_{n-1}=-k(x_n+x_{n-1}),\\ & x_n-x_{n-1}=-k(y_n+y_{n-1})\end{array}\Rightarrow x_n-y_n=\frac{1+k}{1-k}(x_{n-1}-y_{n-1}).\end{array}$$
   (将方程组的两式相减). 而 ${\displaystyle x_1-y_1=1\ne 0}$, 因此证明了题目结论.
3. 证明 简记 ${\displaystyle q={\displaystyle \frac{1+k}{1-k}>1}}$. 由 2 我们得到 ${\displaystyle x_n-y_n=q^{n-1}}$. 类似地，如果将 2 中方程组的两式相加, 得到 ${\displaystyle x_n+y_n={\displaystyle \frac{9}{q^{n-1}}}}$, 因此解得 $$\begin{array}{r}{x}_n=\frac{1}{2}(q^{n-1}+\frac{9}{q^{n-1}}),y_n=\frac{1}{2}(\frac{9}{q^{n-1}}-q^{n-1}).\end{array}$$
   首先我们证明：${\displaystyle P_{n+3}{P}_n//P_{n+2}{P}_{n+1}}$，也即(这里进行带入和整理, 并简记 ${\displaystyle A={\displaystyle \frac{9(1-q^3)}{q^{n+2}}}}$, ${\displaystyle B=q^{n-1}(q^3-1)}$, ${\displaystyle C=\frac{9(1-q)}{q^{n+1}},D=q^n(q-1)}$) $$\begin{array}{r}\frac{A+B}{A-B}=\frac{C+D}{C-D}⟺BC=AD,\end{array}$$
   但 ${\displaystyle BC=AD}$ 是显然的，这样命题得证. 而事实上命题意味着，将 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{P}_n{P}_{n+1}{P}_{n+2},\mathrm{\Delta }{P}_{n+3}{P}_{n+1}{P}_{n+2}}$ 同时取公共边 ${\displaystyle P_{n+1}{P}_{n+2}}$ 作为底边时，两顶点的连线与底边平行，也即两个三角形同底等高，因此 ${\displaystyle S_{n+1}=S_n}$.